关于欧拉常数的无理性及相关渐近公式
On irrationality of Euler's constant and related asymptotic formulas
AI总结：
本文利用Sondow的积分表示，推导出相关序列的渐近公式，并借助欧拉常数无理性判据的充分条件，证明了欧拉常数γ是无理数。
摘要：
通过定义 $$I_n:=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{(x(1-x)y(1-y))^n}{(1-xy)(-\log xy)}\\ dx dy$$，Sondow（见[2]）证明了 $$I_n=\binom{2n}{n} γ+L_n-A_n$$。我们证明了当 $n\to\infty$ 时 $L_n$ 和 $A_n$ 的渐近公式，即 $$ L_n=\binom{2n}{n}\left(\log \left( {\frac{3n}{2}} \right) +\mathcal{O}\\!\left( {\frac{1}{n}} \right)\right)$$ 以及 $$A_n\sim\frac{4^n}{\sqrt{πn}}\left(γ+\ln\frac32+\ln n\right)$$。利用 Sondow 给出的欧拉常数无理性判据的充分条件，我们证明了 $γ$ 是无理数。
英文摘要：
By defining $$I_n:=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{(x(1-x)y(1-y))^n}{(1-xy)(-\log xy)}\ dx dy$$ Sondow (see [2]) proved that $$I_n=\binom{2n}{n} γ+L_n-A_n$$ We prove asymptotic formula for $L_n$ and $A_n$ as $n\to\infty$, $$ L_n=\binom{2n}{n}\left(\log \left( {\frac{3n}{2}} \right) +\mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{n}} \right)\right)$$ and $$A_n\sim\frac{4^n}{\sqrt{πn}}\left(γ+\ln\frac32+\ln n\right)$$ Using the sufficient condition for irrationality criteria of Euler's constant due to Sondow, we prove that $γ$ is irrational.
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