Quantum ratchet with Lindblad rate equations
该研究在一维周期晶格上建立量子随机行走模型，利用Lindblad速率方程和系统对称性推导出长时间极限下的速度解析式，发现速度可多次反转，且需非零跃迁速率以实现定向运动。
2024-05-26 cond-mat.stat-mech quant-ph
Coined Quantum Walks on Weighted Graphs
我们定义了一个离散时间，杜撰的量子行走加权图的灵感来自Szegedy的量子行走。利用这一点，我们证明了许多懒散的量子行走，其中每个顶点有$l$整数自循环，可以推广到量子行走，其中每个顶点有一个单一的自循环的实值重量$l$。我们将这种实值量子漫步应用于两个问题。首先，我们分析了它的线或一维晶格，表明它是完全等效的三态Grover行走与更快的弹道色散的连续变形。其次，我们推广Grover的算法，或在完全图上搜索，在每个顶点处具有加权自循环，当$l < 3 + 2\sqrt{2} \approx 5.828$时产生改进的成功概率。
2017-09-14 quant-ph
Quantum Simulation of a Quantum Stochastic Walk
量子行走的研究已被证明在人工智能、生物过程研究和量子传输等领域有广泛的应用。量子随机行走，它允许步行者的非相干运动，因此，方向性，是对完全相干量子行走的推广。虽然量子随机游走总是可以用Lindblad形式描述，但这并不意味着它可以在Born-Markov近似下的标准弱耦合极限中微观推导出来。这限制了可以通过实验以简单的方式实现的量子随机行走的类别。为了规避这一限制，我们引入了一种技术，在一个完全相干的量子计算机上模拟开放系统的演化，使用量子轨迹风格的方法。我们将这种技术应用于广泛的一类量子随机行走，并表明它们可以用最少的实验资源进行模拟。我们的工作开辟了一条道路，走向实验实现量子随机行走在大型图与现有的量子技术。
2016-06-26 quant-ph
Efficient Computation of Decoherent Quantum Walks through Eigenvalue Perturbation
最近的一些研究已经调查了在量子漫步中引入退相干以及由此产生的向经典随机漫步的过渡。有趣的是，已经表明具有消相干的量子行走的算法特性，例如扩展速率，有时比它们的纯量子同行更好。不仅具有退相干的量子行走提供了自然地包含量子和经典情况的量子行走的一般化，而且它们还产生了新的和不同的概率分布。具有退相干的量子行走在大型图中的应用受到限制，因为必须演化一个状态向量，其大小是图的节点数的二次，而不是纯量子（或经典）情况下的线性状态向量。在这份技术报告中，我们展示了如何使用微扰理论来降低受退相干影响的连续时间量子行走的计算复杂性。更具体地说，给定一个n个节点的图，我们展示了如何从n × n图的Hamilton算子的本征分解近似n^2 × n^2 Lindblad超算子的本征分解。
2016-01-18 quant-ph
QSW_MPI: a framework for parallel simulation of quantum stochastic walks
QSW_MPI是一个Python包，用于连续时间量子随机漫步的时间序列模拟。这个模型允许研究马尔可夫开放量子系统的Lindblad形式主义，包括推广的连续时间随机游走和连续时间量子游走。QSW_MPI由一个使用稀疏数据结构访问并行Fortran库的Python接口组成，可扩展到大规模并行计算机，这使得在任意复杂度的有向和无向图上模拟广泛的行走动力学成为可能。
2020-07-08 cs.DC physics.comp-ph quant-ph
Boundary-localized non-Hermitian modes in an absorbing quantum walk
Center for Quantum Information and Control, University of New Mexico（量子信息与控制中心，新墨西哥大学）
本文研究了一种连续时间量子行走的吸收机制，通过引入任意强度的Lindblad边界漏斗，从基本原理出发求解了该问题，并推导了精确的传播子和首次通过统计特性，揭示了弱耦合和强耗散下吸收概率的对称性。
2026-08-31 quant-ph
Matrix valued Szego polynomials and quantum random walks
我们考虑整数上的量子随机游走（QRW），这是过去几年在量子计算框架中考虑的一个主题。我们将展示如何CMV矩阵理论提供了一个自然的工具来研究这些过程，并给出类似的结果，卡林和麦格雷戈开发的研究（经典）出生和死亡过程中使用正交多项式的真正的路线。在完美的类比与经典的情况下，研究QRW的一组非负整数可以处理使用标量值（洛朗）多项式和标量值的措施在圆上。在整数上的经典或量子随机游动的情况下，需要考虑这些概念的矩阵值版本。我们展示了我们的工具如何在著名的Hadamard行走的情况下产生结果，但是我们超越了这个平移不变模型来分析使用其他方法难以分析的例子。更确切地说，我们考虑非负整数集合上的QRW.对这些情况的分析导致了在整数上的QRW的情况下不存在的现象，即使一个人将自己限制在一个常数硬币上。这里通过研究行走的递归性质来说明这一点，但同样的方法可以用于其他目的。这里的介绍旨在自成一体，但我们不试图介绍量子随机游动，这是我们引用的文献中调查过的一个主题。对于两个优秀的评论，见[1，18]。另见最近的注释[19]。
2009-01-15 math.CA quant-ph
Quantum simulation of quantum relativistic diffusion via quantum walks
本研究提出两个带时间噪声的离散时间量子行走模型，证明其连续极限为狄拉克林德布拉德方程，实现量子相对论空间扩散模拟，并扩展至位置相关噪声。
2020-03-27 cond-mat.other hep-lat physics.plasm-ph
Weak convergence of complex-valued measure for bi-product path space induced by quantum walk
本文给出了由量子行走诱导的双积路径空间的复值测度。特别地，我们考虑了双积路径空间的幂集中的三种类型的条件返回路径（1）$Λ\times Λ$，（2）$Λ\times Λ'$和（3）$Λ'\times Λ'$，其中$Λ$是所有$2n$长度（$n\in \mathbb{N}$）返回路径的集合，而$Λ'(\subseteq Λ)$是在时间$n$通过$nx$（$x\in [-1,1]$）的所有$2n$长度返回路径的集合。对于情形（1）-（3），我们得到了复值测度的渐近性态，这意味着两类弱收敛定理（定理1和2）。其中之一是弱值的弱极限。
2012-08-30 math-ph math.MP math.PR
Lindblad-Deformed Spectral Geometry: Heat-Kernel Asymptotics and Effective Spectral Dimension
Ludwig Maximilian University of Munich（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）
本文提出一种Lindblad变形的谱几何框架，通过Dirac算子D_γ=D−iγΣ研究热核渐近行为，并确定有效谱维数的修正。
2026-03-20 math-ph math.DG math.MP
From quantum theory to classical dynamics under spontaneous wave-packet reduction
本文考虑自发波包约化，得到了Lindblad形式的量子主方程。将这样一个量子主方程精确映射到一个连续时间随机游走（CTRW）上，可以得到不同的经典方程。虽然这个CTRW是一个准经典行走，由于量子干涉的影响仍然可以在这样的行走是重要的。宏观上，我们将考虑势的不确定性，并通过一族薛定谔方程（或算子）来确定有效跃迁几率。
2005-05-11 cond-mat.stat-mech quant-ph
On Howland time-independent formulation of CP-divisible quantum evolutions
我们将Howland的时间无关形式推广到有限维开放量子系统在弱耦合极限下的完全正的保迹动力学情形，扩展了我们在以前文献中的结果.我们提出的Bochner空间的周期，平方可积矩阵值的功能，以及它的张量积表示，作为广义空间内的状态与时间无关的形式主义。我们研究了这个空间上的一些稠密定义的算子，以及它们的类傅立叶展开式，并利用Banach空间值傅立叶级数的一般结果，如广义Carleson-Hunt定理，解决了一些与它们的收敛性有关的问题。我们制定的马尔可夫动力学在广义状态空间中通过构建适当的时间无关Lindbladian标准（Lindblad-Gorini-Kossakowski-Sudarshan）的形式，以及有界演化映射的单参数半群。我们证明了它们与定义在矩阵空间上的马尔可夫生成元和动态映射的相似性，即生成元仍然具有标准形式（通过闭扰动扩展），所得半群也是完全正的、保迹的和压缩的.
2020-01-13 math-ph math.CA math.MP
Site Recurrence for continuous-time open quantum walks on the line
本文研究线上连续时间开放量子行走的位点复现性，引入 SJK-复现性并证明其与传统复现性等价，进而给出有限维硬币且辅助 Lindblad 算子具有单一稳态时的完整判据，并补全内部自由度为 2 维的情形。
2023-05-31 quant-ph
Continuum Limits of Lazy Open Quantum Walks
University of Strathclyde（思克莱德大学）
本文推导了懒惰开放量子行走的连续极限，通过SU(3)哈密顿量描述了退相干影响下的输运机制，揭示了内部对称性与退相干通道对大规模输运的作用。
2026-01-16 quant-ph
Experimental realization of a single qubit SIC POVM on via a one-dimensional photonic quantum walk
对称信息完全正算符值测量（SIC-POVM）是一类重要的量子测量，对各种量子信息处理任务都有重要意义。SIC-POVM的优点是为量子态提供了一个无偏的估计器，具有完全断层扫描所需的最少数量的结果。我们提出了一个实验方法上的光子量子行走，可用于实现单量子比特上的SIC-POVM。单光子位置的投影测量对应于SIC-POVM关于单光子偏振的元素。
2014-12-07 quant-ph
Zero Transfer in Continuous Time Quantum Walks
在本文中，我们显示如何使用复杂的边权重在一个图可以完全抑制流的概率振幅在连续时间量子行走到特定的顶点的图的边权重，图的拓扑结构和初始状态的量子行走满足一定的条件。本文中提出的条件来自所谓的手征量子行走，连续时间量子行走的一个变种，它采用了方向性偏差相对于网站之间的转移概率图的顶点，通过使用复杂的边权重。我们研究的必要性，打破时间反演对称性，以实现零转移连续时间量子行走。我们还考虑了退相干对零转移的影响，并提出这种现象可以用来检测系统中的退相干。
2019-02-28 quant-ph
Unfolding quantum master equation into a system of real-valued equations: computationally effective expansion over the basis of $SU(N)$ generators
开放的$N$态量子系统的动力学通常用描述系统的密度算子的演化的马尔可夫主方程来建模。利用$SU(N)$群的生成元作为基，可以将密度算子转化为实值的Bloch向量. Lindbladian是一个超级算子，它是主方程中演化的生成元，可以在相同的基础上扩展并以实矩阵的形式重铸。总之，这些展开式的结果是一个非齐次系统的$N^2-1$实值线性微分方程的布洛赫向量。现在，例如，实现高性能并行单纯形算法以找到该系统的解，该解保证密度矩阵的范数和厄米性的精确保持。然而，当以直接的方式执行时，扩展变成时间复杂度为$\mathcal{O}(N^{10})$的操作。当耗散算子的数量与$N$无关时，可以降低复杂性，这通常是物理意义模型的情况。本文提出了一种将量子主方程转化为实值微分方程组并将其在时间上向前传播的算法。通过使用一个可扩展的模型，我们评估的算法的计算效率，并证明它是可能的处理模型系统与$N = 10^3$状态的计算机集群的单个节点上。
2019-01-22 quant-ph
Faster Computation with the Generalized Laplacian Quantum Walk
Creighton University（克里顿大学）
本文证明由广义拉普拉斯算子驱动的连续时间量子行走，通过调节度矩阵倍数，能在接近最优时间内搜索多标记顶点的完全二分图，从而比标准量子行走更快，为开发新量子算法提供潜力。
2026-09-10 quant-ph
Universally Optimal Noisy Quantum Walks on Complex Networks
输运性质在生物学、化学、社会学、信息科学和物理学等多个科学领域中起着至关重要的作用。许多运行在复杂网络上的动力学过程的行为都与底层拓扑的几何结构密切相关，但当量子效应发挥作用时，这种联系变得更加难以理解。在这里，我们利用Kossakoski-Lindblad形式主义的量子随机行走调查的能力，快速和强大的传输能量（或信息）之间的两个遥远的点在非常大的复杂的结构，显着辅助外部噪声和量子特性的相干性。非常令人惊讶的是，经典和量子传输的最佳混合对于一大类复杂网络来说是相当普遍的。这种广泛的行为证明对于几何形状的变化也是非常稳健的。这些结果可能为设计高效传输纳米结构的最佳生物启发几何形状铺平道路，这些纳米结构可用于太阳能以及量子信息和通信技术。
2014-04-16 cond-mat.stat-mech quant-ph
Asymmetric random walks in a discrete spacetime as a model for quantum mechanics
本文提出了一个简单的模型，它不使用薛定谔方程或波函数，而用受自干涉的自由粒子的概率场来模拟量子力学的结果。与标准的QM图片，所提出的模型只使用整数值的数量和算术运算。特别是，它假设一个离散的时空的形式下的欧几里德格。所提出的方法将单个粒子的轨迹描述为随机行走。跃迁概率是几个量的简单函数，这些量要么在粒子的准备过程中随机地与粒子相关联，要么存储在它们在行走过程中访问的晶格位置中。非相对论性QM预测，特别是自干扰，检索的概率分布相似的准备合奏的粒子。扩展到相互作用的粒子进行了讨论，但没有详细的本文。
2015-01-25 quant-ph
Floquet engineering of continuous-time quantum walks: towards the simulation of complex and next-to-nearest neighbor couplings
图上的连续时间量子行走的形式已经被广泛应用于能量和信息的量子传输的研究，以及量子算法的发展。然而，在实验设置中，对图的不同节点之间的耦合系数（通常被认为是实值）的控制有限，从而限制了可以实现的量子行走的类型。在这项工作中，我们将Floquet工程的思想应用于连续时间量子行走的背景下，即，我们定义了可用于模拟某些目标连续时间量子行走的动力学的连续驱动的哈密顿算子。我们专注于两个主要应用：i）模拟量子行走，打破时间反演对称性，由于复杂的耦合系数; ii）通过模拟次近邻耦合的存在，增加图的连通性。我们的工作提供了明确的模拟协议，可用于指导量子传输，工程一维量子行走的色散关系或调查量子动力学在高度连接的结构。
2021-02-08 quant-ph
Quantum walks defined by digraphs and generalized Hermitian adjacency matrices
我们提出了一种由有向图（混合图）定义的量子行走。这就像Grover walk被有向图定义的某个复值函数所扰动。这种量子行走的判别式是一个矩阵，它是广义厄米邻接矩阵的某种归一化。进一步给出了传递矩阵的正支撑和负支撑的定义，并给出了它们在平方上的支撑的显式表达式。此外，还给出了用特征值判别有向图的电算表。
2021-03-09 math.CO quant-ph
Temporal nonclassicality in continuous-time quantum walks
Università degli Studi di Milano（米兰大学）；INFN, Sezione di Milano（意大利国家核物理研究所米兰分部）
本文通过结合单时间与多时间非经典性量化器，研究连续时间量子漫步的量子特性，发现非经典性量$\bar{K}(t)$在短时间呈二次衰减，而在长时间则受拓扑结构影响，与经典距离$D_{\mathrm{QC}}(t)$行为不同。
2025-12-21 quant-ph
Hitting statistics from quantum jumps
我们定义了一个模型的连续时间开放量子行走的量子跳跃的命中时间。我们的出发点是Lindblad形式的主方程，它可以作为经典连续时间马尔可夫链速率方程的量子模拟。量子跳跃方法在量子光学领域是众所周知的，并且也被应用于模拟离散时间中的开放量子行走。然而，这种方法非常适合于连续时间问题。这里表明，一个连续时间命中问题是服从通过量子跳跃分析：命中时间可以定义为第一次跳跃的时间。利用这一事实，我们得到了击中时间的分布和统计矩的显式表达式。简单的例子被认为是说明最终的结果。然后，我们表明，通过量子跳跃获得的命中统计是一致的，与以前的定义为离散时间测量行走[物理。修订版~ A~{ \bf 73}，032341（2006）]（当推广到允许非酉演化并且在小时间步长的限制下时）。量子跳跃方法的一个警告是，它依赖于最终状态（我们想要达到的状态）与图中的其他顶点只共享不相干的边。我们提出了一个简单的补救措施来恢复量子跳跃的适用性时，这是不是这样的情况下，命中时间统计将再次收敛到从测量的离散行走在适当的限制。
2017-07-14 quant-ph
Quantum jump trajectories, hybrid systems, non-Hermitian evolutions, quantum/classical walks
Istituto Nazionale di Alta Matematica (INDAM-GNAMPA)（意大利高等数学研究所）；Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN), Sezione di Milano（意大利国家核物理研究所米兰分部）
本文提出了一种通用方法来构建量子跃迁轨迹的随机主方程，并讨论了其与量子/经典混合系统及量子滤波理论的关系，通过引入典型轨迹的概念，递归构建非线性随机主方程的解，并利用排除概率密度描述跳跃相关的概率。
2026-05-02 math-ph math.MP quant-ph
Topologically Protected Edge States in One-Dimensional Quantum Walks
Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文提出一类可变步长的拓扑量子行走，通过转移矩阵方法研究其拓扑保护的边缘态，实现对边缘态数量、空间轮廓和自旋结构的控制。
2026-09-09 quant-ph
Postselection-induced localization and coherence in quantum walks on heterogeneous networks
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）；Indian Institute of Science Education and Research Thiruvananthapuram（印度科学教育研究所蒂鲁瓦南特普朗分校）
研究后选择如何在异质网络中通过非线性效应诱导量子漫步的局域化与相干性，揭示不同退相干机制下的动态平衡破环机制。
2026-10-14 cond-mat.other quant-ph
Environment-Assisted Quantum Walks in Photosynthetic Energy Transfer
光合系统中的能量传递可以表现出量子效应，例如离域激子传递。最近，对于Fenna-Matthews-Olson（FMO）蛋白质复合物的动力学，已经通过实验证明了长寿命相干性的直接证据[Engel et al.，Nature 446，782（2007）]。然而，量子动力学过程与激子转移效率的相关性在很大程度上是未知的。在这里，我们开发了一个理论框架，用于研究量子干涉效应在分子阵列与Lindblad形式主义内的热浴相互作用的能量传递动力学中的作用。为此，我们推广连续时间量子行走的非幺正和温度依赖的动力学刘维空间来自微观哈密顿。通过能量转移效率及其敏感性的普适度量，探讨了相干和退相干过程的不同物理效应。特别是，我们证明了FMO复杂的自由哈密顿量和热波动的环境之间的有效相互作用导致能量转移效率从约70%大幅增加到99%。
2008-10-14 physics.bio-ph physics.chem-ph quant-ph
Google In A Photonic Lattice
量子版的Google PageRank最近被不同的团队研究，并显示出比经典的PageRank算法快二倍。在本文中，我们提出了量子PageRank的实现相关光子在光子波导晶格中的随机量子行走，其中我们允许密度矩阵根据Lindblad-Kossakowski主方程的演变。这就产生了一个稳定状态，其密度矩阵的对角线给出了页面的排名。
2013-05-08 physics.optics quant-ph
Continuous-time quantum walks on a defective lattice: Boosting the spreading of delocalized states through Parrondo's strategy
Universidade do Estado de Santa Catarina（圣卡塔琳娜州立大学）；Universidade Federal de Santa Catarina（圣卡塔琳娜联邦大学）
该研究针对含单个缺陷的一维晶格上的连续时间量子行走，通过在两种不利缺陷构型间交替的Parrondo策略，提升了离域态的量子输运效率，揭示了其中的Parrondo悖论现象。
2026-08-04 quant-ph
Phase-space measurements, decoherence and classicality
本文通过相干态POVM建模环境对相空间的监测，研究位置和动量联合测量导致的退相干，证明其使密度矩阵在位置和动量表示下对角化，并关联于双Lindblad算子动力学。
2024-06-28 math-ph math.MP quant-ph
Isotropic random walks and Brownian diffusion on complex projective space
Loughborough University（拉夫堡大学）
通过各向同性随机游走和布朗扩散，为量子态空间探索提供可解析的随机几何框架，导出跃迁核、保真度统计和几何可观测量，并解决首达时间问题。
2026-11-04 math-ph math.MP quant-ph
Experimental realization and self-testing of semisymmetric informationally complete measurements via a one-dimensional photonic quantum walk
School of Physics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学物理学院）
该研究通过一维量子行走实验实现了半对称信息完备POVM，并以半设备无关方式进行了自检，为广义量子测量的量子认证提供了新方法。
2026-03-02 quant-ph
Quantum fluctuation dynamics of open quantum systems with collective operator-valued rates, and applications to Hopfield-like networks
该研究针对具有集体算符值速率的GKS-Lindblad型开放量子多体系统，推导无穷大系统极限下的量子涨落算符动力学，并应用于量子广义Hopfield网络，发现介观尺度渐近态仅存在极弱的量子失谐型量子关联。
2024-02-01 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Mean-field dynamics of open quantum systems with collective operator-valued rates: validity and application
本文研究含态依赖集体耗散速率的开放量子多体 Lindblad 动力学，证明大系统极限下平均算符平均场方程的精确性，并推导局部算符的有效生成元。
2023-02-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Quantum Thermal State Preparation
本文提出连续时间量子吉布斯采样器，克服能量-时间不确定性障碍，并首次给出快速热化系统纯化吉布斯态制备的可证明精确高效算法，具有温度、精度和混合时间依赖的成本，并完成有限时间热化的严格证明。
2023-11-15 math-ph math.FA math.MP
Complex Obtuse Random Walks and their Continuous-Time Limits
本文研究一类特殊的复值随机变量及其随机游动：复钝角随机变量。它们是实值钝角随机变量的复情形的推广，实值钝角随机变量是在\cite{A-E}中为了理解$\RR^n$中的正规鞅的结构而引入的。对复情形的推广主要是出于量子统计力学的考虑，特别是为了寻求那些充当经典噪声的量子浴的特征。将钝随机变量推广到复情形远不明显，而且隐藏了非常有趣的代数结构。我们证明了复钝角随机变量的特征在于一个3张量，它允许一定的对称性，我们证明是2张量（即矩阵）的正规字符的精确3张量模拟，即，在某些规范正交基中可对角化的一个充要条件。我们讨论了这些随机游动的连续时间极限，并证明了它们在分布上收敛于$\CC^N$中的正态鞅。我们表明，3张量与这些正常的鞅编码他们的行为，特别是对角化方向的3张量表示的方向的空间，鞅的行为像一个扩散和那些它的行为像一个泊松过程。最后，我们证明了相应的乘法算子在规范Fock空间上的连续时间极限的收敛性，并给出了相应的3-张量的显式表达式。
2014-02-27 math-ph math.MP math.PR
Continuous-Time Quantum State Transfer with a Generalized Laplacian
本文研究由广义拉普拉斯算子L_k=A+kD控制的连续时间量子游走，通过调节参数k增强某些图上端点间的状态传输保真度。
2025-10-09 math.CO quant-ph
The Wigner branching random walk: Efficient implementation and performance evaluation
为了实现Wigner分支随机游动，携带有符号权的粒子（$-1$或$+1$）比从$-1$到$+1$连续地携带实值权的粒子更有利于数据存储和算术操作.前者称为带符号粒子，后者称为加权粒子。在本文中，我们提出了两个有效的策略来实现签名粒子的实现。一种是将乘法泛函解释为生成粒子对的概率而不是增量权重，另一种是利用自举滤波器来调整粒子权重的偏度。对高斯势垒散射（2D）和类氦系统（4D）的性能评估证明了这两种策略的可行性和第二种方法的方差减小特性。我们提供了一个改进的第一个符号粒子的实现，部分地消除了时间步长的限制，并进行了彻底的理论和数值比较之间的所有现有的符号粒子的实现。还提供了根据准概率密度和有效的恢复或粒子减少来实现重要性采样的细节。
2018-04-17 math.PR physics.comp-ph quant-ph
Abstract Model of Continuous-Time Quantum Walk Based on Bernoulli Functionals and Perfect State Transfer
在本文中，我们提出了一个抽象的模型的连续时间量子行走（CTQW）的基础上伯努利泛函，并证明了该模型具有完美的状态转移（PST），等等。设$\mathfrak{h}$为无穷维平方可积复值Bernoulli泛函空间。首先，在给定的子空间$\mathfrak{h}_L \subset \mathfrak{h}$上，利用$\mathfrak{h}$上的典型酉对合构造了一个自伴算子$Δ_L$，并通过分析其谱结构，找出了它的所有特征值.然后，我们引入了一个以$\mathfrak{h}_L$为状态空间的CTQW抽象模型，该模型由以$Δ_L$为Hamilton量的薛定谔方程控制。我们定义了模型的时间平均概率分布，得到了该分布的显式表达式，特别是，我们发现该分布具有对称性。我们还证明了该模型提供了一个图论的解释运营商$Δ_L$以及模型本身。最后，我们证明了该模型在时间$t=\fracπ{2}$具有PST。模型还证明了其他一些有趣的结果。
2022-11-30 math-ph math.FA math.MP
