An algorithm for best generalised rational approximation of continuous functions
本文的动机是发展的优化方法解决优化问题出现在切比雪夫合理和广义有理逼近的问题，其中的近似构造为比率的线性型（线性组合的基函数）。线性型的系数是经过优化的，基函数是连续函数。众所周知，广义有理逼近问题中的目标函数是准凸的。本文还证明了一个更强的结果，即目标函数在Penot和Quang意义下是伪凸的。然后，我们开发的数值方法，是有效的广泛的伪凸函数和测试他们对广义有理逼近问题。
2020-11-05 cs.NA math.NA math.OC
Convex Cones of Generalized Positive Rational Functions and Nevanlinna-Pick Interpolation
纯量有理函数在右半半平面上具有非负实部，称为正实部，是电网络、耗散系统、Nevanlinna-Pick插值等领域的经典研究对象。本文研究广义正函数，即在虚轴上实部非负的函数。这些功能形成一个凸可逆锥，cic在短期内，我们探讨了两个partitionings的这个集合：（i）到一对偶数和奇数subcics和（ii）（无限多个不可逆）凸锥的功能与规定的极点和零点在右半平面。然后证明了一个正函数总是可以写为偶数和奇数部分的和，只是在更大的广义正的集合上。众所周知，在正函数上Nevanlinna-Pick插值并不总是可行的。在广义正的情况下，没有简单的方法来进行这种插值。随后利用第二分区介绍一个简单的Nevanlinna-Pick插值过程。最后，我们表明，只有一些这些性质进行了广义有界函数，映射的虚轴的单位磁盘。
2012-02-06 math.OC
The convex invertible cone structure of positive real odd rational matrix functions
正实奇矩阵函数，通常被称为正实无耗矩阵函数，在多端口电气系统的许多应用中起着重要作用。在本文中，我们提出了更密切的类似物的标量，一个端口，在多端口设置的情况下，一些已知的结果。具体地说，我们确定了充要条件的研究部分分式公式表示的功能在类的正实奇矩阵函数，并明确的最小状态空间实现公式的逆（导纳）在这类函数，这本身也是一个正实奇矩阵函数。这样做，使我们能够提供一个部分模拟的极点-零交错行为从标量的情况。
2020-03-11 math.OC
First Order Conditions for Semidefinite Representations of Convex Sets Defined by Rational or Singular Polynomials
一个集合称为半定可表示或半定规划（SDP）可表示，如果它可以表示为一个高维集合的投影，而高维集合又可以用线性矩阵不等式（LMI）表示.本文讨论了S_D（f）= {x \in D：f（x）>= 0}的凸集的半定可表示性条件。这里D={x \in R^n：g_1（x）>= 0，.，g_m（x）>= 0}是由一些“漂亮的”凹多项式g_i（x）（它们满足某些证明）定义的凸区域，f（x）是多项式或有理函数。当f（x）是\mc{D}上凹的时，我们证明了S_D（f）在一定的条件下有一些显式半定表示，称为预序半定表示或q-模半定表示，这些条件基于一阶半定准则的正半定表示证明.当f（x）是多项式或有理函数时，在一定条件下，通过引入透视变换，得到了S_D（f）的显式半定表示.在n=2的特殊情形下，如果f（x）在一个奇点附近的Laurent展开只有两个连续的齐次部分，我们证明了S_D（f）总是存在一个显式可构造的半定表示.
2008-06-28 math.AG math.OC
Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions
设${\cal P}=\{h_1, ..., h_s\}\subset \Z[Y_1, ..., Y_k]$、$D\geq °(h_i)$为$1\leq i \leq s$、$σ$为$h_i$的系数的位长度的边界，以及$Φ$为定义凸半代数集的无量词${\cal P}$公式。我们设计了一个算法，当且仅当${\cal S}\cap \Q\neq\emptyset$返回一个合理的点在${\cal S}$。它需要$σ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$位操作。如果输出有理点，则其坐标具有由$σD^{\bigO(k^3)}$支配的位长度。利用这一结果，我们得到一个程序，决定如果一个多项式$f\in \Z[X_1, >..., X_n]$是一个平方和的多项式在$\Q[X_1, ..., X_n]$。用$d$表示$f$的程度，$τ$表示$f$、$D={{n+d}\choose{n}}$和$k\leq D(D+1)-{{n+2d}\choose{n}}$中的系数的最大比特长度。该过程需要$τ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$位操作，并且输出的多项式的系数具有由$τD^{\bigO(k^3)}$支配的位长度。
2009-10-15 cs.DS cs.SC math.OC
Frequency-Domain Identification of Discrete-Time Systems using Sum-of-Rational Optimization
提出一种基于频域数据和和有理优化的全局优化方法，用于辨识稳定离散时间有理传递函数模型，并通过矩-平方和层级保证全局收敛。
2023-12-25 cs.SY eess.SY math.OC
Tackling Stackelberg Network Interdiction against a Boundedly Rational Adversary
这项工作研究了Stackelberg网络阻断游戏-一类重要的游戏，其中防御者首先将（随机）防御资源分配给图上的一组关键节点，而对手相应地选择其攻击这些节点的路径。我们考虑一个有限理性的对手，对手的反应模型是基于一个动态形式的经典的基于logit的离散选择模型。我们证明了在理性环境下为防守者寻找最优拦截策略的问题是NP难的。由此产生的优化实际上是非凸的，并且另外，涉及在指数级许多路径上求和的复杂项。我们解决这些计算挑战，提出了新的有效的近似算法有界的解决方案的保证。首先，我们提出了一个多项式时间的动态规划为基础的配方，以解决指数多路径的挑战。然后，我们证明了非凸目标的梯度也可以在多项式时间内计算，这使我们能够使用基于梯度的方法来有效地解决问题。其次，我们确定了一个受限制的问题，是凸的，因此基于梯度的方法找到这个受限制的问题的全局最优解。我们进一步确定温和的条件下，这个限制问题提供了一个有界的近似原问题。
2023-01-28 cs.GT math.OC
Passive Linear Continuous-Time Systems: Characterization Through Structure
在这里，我们表明，家庭的连续时间线性系（规定的尺寸），可以通过结构的最大，矩阵凸，锥，封闭下反演。此外，这一观察统一了三个设置：（i）微分包含，（ii）矩阵值有理函数，（iii）实现阵列与有理函数。结果表明，在离散时间情形下，相应的结构是一个极大矩阵-凸集，在其元素之间的乘法下是封闭的
2020-10-02 math.FA math.OC
Rational Generalized Nash Equilibrium Problems
研究了由有理函数给出的广义Nash均衡问题。最优化问题不被假设为凸的。引入拉格朗日乘子的有理表达式和KKT点的可行扩展来计算广义纳什均衡（GNE）。给出了求解有理广义Nash均衡问题的有理最优化问题的一个层次。研究了可行扩张的存在性和计算问题。利用Moment-SOS松弛法求解了有理最优化问题。在一些一般的假设下，我们表明，建议的层次结构可以计算GNE，如果它存在或检测其不存在。数值实验表明了该方法的有效性。
2023-02-21 math.OC
Passive Linear Discrete-Time Systems: Characterization through Structure
我们在这里表明，家庭的有限维，离散时间，被动，线性定常系统的特点是通过结构的最大，矩阵凸集，封闭的乘法下，其元素。此外，这一观察统一了三个设置：（i）差包含，（ii）矩阵值有理函数，（iii）实现阵列与有理函数。结果表明，在连续时间的情况下，相应的结构是一个极大的矩阵凸，锥，在反演下关闭。
2021-02-02 math.FA math.OC
The peak heat flux conjecture for the first Dirichlet eigenmode of convex planar domains
Yale University（耶鲁大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；Flatiron Institute（平研究所）
本文研究了与长时极限峰值边界热流相关的无量纲量，通过凸域的分析证明了第一狄利克雷本征函数的法向导数上限与本征值的关系，并利用层势推导了形状导数公式，结合高阶Nyström离散化方法优化了该量。
2026-03-17 cs.NA math.AP math.NA
Dual certificates and efficient rational sum-of-squares decompositions for polynomial optimization over compact sets
研究了紧半代数集上正多项式的加权平方和证书的计算问题。建立在凸优化的边界点方法的理论基础上，我们引入了对偶锥证书的概念，这使得我们能够将来自平方和锥的对偶的向量解释为WSOS多项式的严格非负性证书。传统的WSOS证书是它们所认证的多项式的替代表示，而双重证书与所认证的多项式不同;此外，每个双重证书认证WSOS多项式的全维凸锥。因此，理性的WSOS证书可以构造从数字计算的双重证书在很少的额外成本，没有任何舍入或投影步骤应用到数字证书。作为一个额外的算法应用程序，我们提出了一个几乎完全数值的混合算法，用于计算一个给定的多项式的最佳WSOS下界以及一个合理的双重证书，每次迭代的多项式时间的计算成本和线性收敛速率。
2022-05-06 math.AG math.OC
An analysis of mixed integer linear sets based on lattice point free convex sets
分裂割是混合整数规划的割平面，其有效性来自于称为分裂集的$S:=\{x : π_0 \leq π^T x \leq π_0+1 \}$形式的最大格点自由多面体。将所有分裂割相加得到的集合称为分裂闭包，已知分裂闭包是一个多面体。在$\max\{π^T x : x \in S \}-\min\{π^T x : x \in S \} \leq 1$的意义上，分裂集$S$具有等于1的最大面宽度。本文考虑利用一般格点自由有理多面体导出混合整数线性集的有效割。我们说最大面宽等于$w$的无点阵多面体的宽度尺寸为$w$。宽度大小为$w$的分裂割则是有效不等式，其有效性来自宽度大小为$w$的无格点有理多面体。第$w$分裂闭包是通过将宽度大小的所有有效不等式相加而获得的集合，最多$w$。我们的主要结果是一个充分条件增加了一个家庭的合理的不等式，导致在一个多面体松弛。然后，我们表明，一个推论是，$w$次分裂闭包是一个多面体。给定这个结果，一个自然的问题是，为了证明不等式的有效性，需要设计一个有限割平面证明，需要多大的宽度尺寸$w^*$。具体地，对于该值$w^*$，存在使用宽度尺寸至多为$w^*$的无格点有理多面体的有限切割平面证明，但不存在仅使用宽度尺寸小于$w^*$的无格点有理多面体的有限切割平面证明。我们表征$w^*$的线性弛豫面的基础上。
2009-06-29 math.OC
New finite relaxation hierarchies for concavo-convex, disjoint bilinear programs, and facial disjunctions
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种新的有限松弛层次结构，用于分析和收紧凹凸规划中的松弛方法，并扩展到面分离编程问题。
2025-11-26 math.OC
Convex Generalized Nash Equilibrium Problems and Polynomial Optimization
本文研究了由多项式给出的凸广义纳什均衡问题。我们使用有理和参数表达式的拉格朗日乘子制定有效的多项式优化计算广义纳什均衡（GNEs）。半定松弛的Moment-SOS族被用来解决多项式优化。在一些一般假设下，我们证明了该方法可以找到一个GNE，如果存在一个，或检测不存在的GNE。数值实验表明了该方法的有效性。
2021-11-08 math.OC
An optimal subgradient algorithm for large-scale bound-constrained convex optimization
本文表明，OSGA算法-它使用一阶信息来解决具有最佳复杂性的凸优化问题-可以用来有效地解决任意有界约束的凸优化问题。这是通过构建一个明确的方法，以及一个不精确的计划，解决有界约束的合理的子问题所需的OSGA。这导致在信号和图像处理、机器学习和统计等应用中的大规模问题上有效地实现OSGA。数值实验表明，该算法在此类问题上具有良好的性能。离子，以显示所提出的方案的效率。一个软件包实现有界约束凸问题的OSGA是可用的。
2015-01-07 math.OC
Minimizing Convex Functions with Rational Minimizers
给定一个分离Oracle $\mathsf{SO}$的凸函数$f$定义的$\mathbb{R}^n$上，有一个积分极小值内的半径$R$框，我们展示了如何找到一个确切的极小值的$f$使用最多（a）$O(n (n \log \log (n)/\log (n) + \log(R)))$调用$\mathsf{SO}$和$\mathsf{poly}(n, \log(R))$算术运算，或（b）$O(n \log(nR))$调用$\mathsf{SO}$和$\exp(O(n)) \cdot \mathsf{poly}(\log(R))$算术运算。当$f$的极小元集有积分极值点时，我们的算法输出$f$的积分极小元。这改进了以前最好的预言复杂度的$O(n^2 (n + \log(R)))$多项式时间算法和$O(n^2\log(nR))$指数时间算法获得的[Grötschel，Lovász和Schrijver，Prog. Comb.Opt.1984，Springer 1988]三十多年前。我们对Grötschel，Lovász和Schrijver的结果的改进推广到$f$的极小元集是一个具有有界顶点复杂性的有理多面体的情况.对于次模函数最小化问题，我们的结果立即意味着一个强多项式算法，使最多$O(n^3 \log \log (n)/\log (n))$调用一个评估oracle，和一个指数时间算法，使最多…
2022-09-20 cs.DM cs.DS cs.IT
Minimal inequalities for an infinite relaxation of integer programs
当$S$是$\mathbb{R}^n$的某个有理多面体的整点集时，我们证明了极大$S$自由凸集是多面体。这个结果推广了Lovász的一个刻画极大无格凸集的定理。我们的定理在整数规划中也有应用。特别地，我们证明了极大无$S$凸集与极小不等式是一一对应的。
2017-01-23 math.OC
Linear Optimization of Polynomials and Rational Functions over Boxes
本文研究了盒上多元多项式的紧线性下界函数的求法问题。这些函数是由多项式展开成伯恩斯坦形式，并使用线性最小二乘函数。证明了给定多项式在提高次数、盒宽和细分时收敛到其下界的性质。随后，我们提供了一个新的方法来构建一个仿射下界函数的多元有理函数的基础上的伯恩斯坦控制点，凸包的非正多项式$s$和度提升。最后给出了与著名的Bernstein常数下界函数的数值比较。
2019-12-16 math.OC
On the integrality gap of convex mixed-integer programs
Sabancı University（萨班哲大学）；Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）
本文研究了凸混合整数规划的积分间隙，分析了不同凸集类别的积分间隙上限，并探讨了非线性凸混合整数规划的积分间隙估计方法。
2026-04-17 math.OC
