关于 Okamoto 函数切片的基数与维数
On the cardinality and dimension of the slices of Okamoto's functions
AI总结：
本文研究 Okamoto 函数图像 $K_q$ 的水平切片，刻画其三元素切片、不可数切片的正 Hausdorff 维数，以及 $k$-Bonacci 参数下奇数基数切片集和可数无穷切片。
摘要：
Okamoto 函数的图像记为 $K_q$，是包含在 $[0,1]^2$ 中的自仿射分形曲线，由参数 $q \in (1,2)$ 刻画。本文研究这些曲线与水平线相交所得切片的基数和维数。第一个定理证明，当 $q$ 充分接近 $2$ 时，$K_q$ 存在一个恰好包含三个元素的水平切片。第二个定理证明，在 $q$ 属于 $(1,2)$ 的某个特定子集时，如果 $K_q$ 的一个水平切片包含不可数个元素，那么该切片具有正的 Hausdorff 维数。最后，我们证明，当 $q$ 是某个 $k \in \mathbb{N}_{\geq 3}$ 对应的 $k$-Bonacci 数时，对于任意 $m \in \mathbb{N}$，使高度 $y$ 处的水平切片含有 $(2m+1)$ 个元素的 $y \in [0,1]$ 构成的集合具有正的 Hausdorff 维数。我们还表明，在关于 $q$ 的相同假设下，存在某个基数为可数无穷的水平切片。
英文摘要：
The graphs of Okamoto's functions, denoted by $K_q$, are self-affine fractal curves contained in $[0,1]^2$, parameterised by $q \in (1,2)$. In this paper we consider the cardinality and dimension of the intersection of these curves with horizontal lines. Our first theorem proves that if $q$ is sufficiently close to $2$, then $K_q$ admits a horizontal slice with exactly three elements. Our second theorem proves that if a horizontal slice of $K_q$ contains an uncountable number of elements then it has positive Hausdorff dimension provided $q$ is in a certain subset of $(1,2)$. Finally, we prove that if $q$ is a $k$-Bonacci number for some $k \in \mathbb{N}_{\geq 3}$, then the set of $y \in [0,1]$ such that the horizontal slice at height $y$ has $(2m+1)$ elements has positive Hausdorff dimension for any $m \in \mathbb{N}$. We also show that, under the same assumption on $q$, there is some horizontal slice whose cardinality is countably infinite.
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