实 Grassmann 流形的 Schur-Horn 映射的连通性性质
Connectivity properties of the Schur-Horn map for real Grassmannians
AI总结：
本文研究了实 Grassmann 流形的 Schur-Horn 映射，提出了原像连通性的判别准则，并据此推导出框架理论中实 Stiefel 流形子空间的连通性判别准则，推广了已有结果。
摘要：
对于 Grassmann 流形 ${\rm Gr}_k({\mathbb R}^n)$ 中的任意 $V$，可以将其与 ${\mathbb R}^n$ 到 $V$ 的正交投影所对应的 ($n\times n$) 矩阵的对角项相关联。由此得到一个映射 ${\rm Gr}_k({\mathbb R}^n)\to {\mathbb R}^n$（即 Schur-Horn 映射）。本文的主要结果是给出了 ${\mathbb R}^n$ 中向量的原像连通性的判别准则。这将使我们能够推导出在框架理论中自然出现的一类实 Stiefel 流形子空间的连通性判别准则。我们以此方式推广了 Cahill、Mixon 和 Strawn 的结果。
英文摘要：
To any $V$ in the Grassmannian ${\rm Gr}_k({\mathbb R}^n)$ of $k$-dimensional vector subspaces in ${\mathbb R}^n$ one can associate the diagonal entries of the ($n\times n$) matrix corresponding to the orthogonal projection of ${\mathbb R}^n$ to $V$. One obtains a map ${\rm Gr}_k({\mathbb R}^n)\to {\mathbb R}^n$ (the Schur-Horn map). The main result of this paper is a criterion for pre-images of vectors in ${\mathbb R}^n$ to be connected. This will allow us to deduce connectivity criteria for a certain class of subspaces of the real Stiefel manifold which arise naturally in frame theory. We extend in this way results of Cahill, Mixon, and Strawn.
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