constacyclic 码和共轭循环码的 $\ell$-交集对
The $\ell$-intersection Pairs of Constacyclic and Conjucyclic Codes
AI总结：
本文研究 constacyclic 码与共轭循环码的 $\ell$-交集对，通过生成多项式次数给出 $\ell$ 公式，并刻画加性共轭循环码及其迹码，确定 $\mathbb{F}_4$ 上迹码的 $\ell$-交集对。
摘要：
一对线性码，其交集的维数为 $\ell$（其中 $\ell$ 是非负整数），称为码的 $\ell$-交集对。本文重点研究 $\lambda_i$-constacyclic 码（$i=1,2$）和共轭循环码的 $\ell$-交集对。我们首先刻画 $\lambda_i$-constacyclic 码的 $\ell$-交集对。建立了 $\ell$ 的公式，该公式用 $\lambda_i$-constacyclic 码的生成多项式的次数表示。这允许获得 constacyclic 码的 $\ell$-线性互补对（LPC）的条件。随后，我们引入并刻画了 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上共轭循环码的 $\ell$-交集对。过程中的第一个观察是，有限域上不存在非平凡的线性共轭循环码。因此，我们专注于加性共轭循环（ACC）码的刻画。我们证明了 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上 ACC 码的最大 $\mathbb{F}_q$-子码是循环的，并得到其生成多项式。这使我们能够求出 ACC 码的大小。此外，我们讨论了 ACC 码的迹码，并证明它是循环的。最后，我们确定了 $\mathbb{F}_4$ 上 ACC 码的迹码的 $\ell$-交集对。
英文摘要：
A pair of linear codes whose intersection is of dimension $\ell$, where $\ell$ is a non-negetive integer, is called an $\ell$-intersection pair of codes. This paper focuses on studying $\ell$-intersection pairs of $λ_i$-constacyclic, $i=1,2,$ and conjucyclic codes. We first characterize an $\ell$-intersection pair of $λ_i$-constacyclic codes. A formula for $\ell$ has been established in terms of the degrees of the generator polynomials of $λ_i$-constacyclic codes. This allows obtaining a condition for $\ell$-linear complementary pairs (LPC) of constacyclic codes. Later, we introduce and characterize the $\ell$-intersection pair of conjucyclic codes over $\mathbb{F}_{q^2}$. The first observation in the process is that there are no non-trivial linear conjucyclic codes over finite fields. So focus on the characterization of additive conjucyclic (ACC) codes. We show that the largest $\mathbb{F}_q$-subcode of an ACC code over $\mathbb{F}_{q^2}$ is cyclic and obtain its generating polynomial. This enables us to find the size of an ACC code. Furthermore, we discuss the trace code of an ACC code and show that it is cyclic. Finally, we determine $\ell$-intersection pairs of trace codes of ACC codes over $\mathbb{F}_4$.
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