具有无界涡量的2D Euler方程由Kraichnan噪声保证存在性与唯一性
Existence and uniqueness by Kraichnan noise for 2D Euler equations with unbounded vorticity
AI总结：
本文研究了受非光滑 Kraichnan 传输噪声扰动的2D Euler方程，证明了无界初始涡量下的弱存在性与逐轨线唯一性，并揭示了噪声带来的额外正则性。
摘要：
我们考虑 $\R^2$ 上的2D Euler方程的涡量形式，具有无界初始涡量，受正则性指数 $α\in (0,1)$ 的适当非光滑 Kraichnan 传输噪声扰动。我们证明了对每个 $\dot{H}^{-1}$ 初始涡量均存在弱解。得益于噪声，我们构造的解在分布律上是正则化随机 Euler 方程的极限，并具有额外的 $L^2([0,T];H^{-α})$ 正则性。对于每个 $p>3/2$ 以及 Kraichnan 噪声的某些正则性指数 $α\in (0,1/2)$，我们还证明了对每个 $L^p$ 初始涡量的逐轨线唯一性。在没有噪声的情况下，此结果是未知的。
英文摘要：
We consider the 2D Euler equations on $\R^2$ in vorticity form, with unbounded initial vorticity, perturbed by a suitable non-smooth Kraichnan transport noise, with regularity index $α\in (0,1)$. We show weak existence for every $\dot{H}^{-1}$ initial vorticity. Thanks to the noise, the solutions that we construct are limits in law of a regularized stochastic Euler equation and enjoy an additional $L^2([0,T];H^{-α})$ regularity. For every $p>3/2$ and for certain regularity indices $α\in (0,1/2)$ of the Kraichnan noise, we show also pathwise uniqueness for every $L^p$ initial vorticity. This result is not known without noise.
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