维护动态排列的循环结构
Maintaining the cycle structure of dynamic permutations
AI总结：
本文提出 FST 数据结构，用每循环一棵伸展树维护动态排列，在对换更新及逆、幂、同循环判定、段翻转等查询上均取得 O(log n) 摊还时间。
摘要：
我们提出了一种用于维护动态排列的新数据结构，称之为 forest of splay trees（FST，伸展树森林）。当允许的更新为对换时，FST 能够高效维护排列 π 的循环结构。该结构为 π 的每个循环存储一棵概念上的伸展树，并以元素在循环中的位置作为键。对于一个对换 τ，将 π 更新为 τ·π 需要 O(log n) 的摊还时间，其中 n 是 π 的大小。FST 可在 O(log n) 摊还时间内计算任意 π(i)、π⁻¹(i)、π^k(i) 和 π⁻ᵏ(i)。此外，它还支持针对特定循环的查询，例如判断两个元素是否属于同一循环、翻转循环中的一段，以及其他操作，同样只需 O(log n) 摊还时间。
英文摘要：
We present a new data structure for maintaining dynamic permutations, which we call a $\textit{forest of splay trees (FST)}$. The FST allows one to efficiently maintain the cycle structure of a permutation $π$ when the allowed updates are transpositions. The structure stores one conceptual splay tree for each cycle of $π$, using the position within the cycle as the key. Updating $π$ to $τ\cdotπ$, for a transposition $τ$, takes $\mathcal{O}(\log n)$ amortized time, where $n$ is the size of $π$. The FST computes any $π(i)$, $π^{-1}(i)$, $π^k(i)$ and $π^{-k}(i)$, in $\mathcal{O}(\log n)$ amortized time. Further, it supports cycle-specific queries such as determining whether two elements belong to the same cycle, flip a segment of a cycle, and others, again within $\mathcal{O}(\log n)$ amortized time.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
