Existence and regularity theorems of one-dimensional Brakke flows
给定$\mathbb R^2$中具有局部有限$1$ -维Hausdorff测度的闭可数$1$ -可求长集，证明了从给定集出发存在具有如下正则性的Brakke流.对于几乎所有的时间，流局部由有限数量的嵌入曲线类$W^{2,2}$，其端点满足在路口的角度为0，60或120度。
2020-09-12 math.AP math.DG
New advances on the existence and regularity of Brakke's mean curvature flows
本文综述Brakke平均曲率流存在性与正则性的最新进展，涵盖局部正则性定理拓展、多相流全局存在性及分支奇异性动力学不稳定性证明，是研讨会报告的扩展版本。
2023-11-09 math.AP math.DG
End-time regularity theorem for Brakke flows
本文证明了接近平面的 Brakke 流在终端时间的光滑图像表示与导数估计，并将 White 的局部正则性定理推广至一般及带强制项的 Brakke-like flows。
2024-02-14 math.AP math.DG
Allard-type boundary regularity for $C^{1,α}$ boundaries
本文给出了具有$C^{1,α}$“边界”的可求长变分的边界单调性公式。特别地，我们证明了以这个“边界”为中心的球的面积比满足一个很好的单调性公式，类似于内部球的单调性公式（在Allard的论文“关于变量的一阶变分”中证明）。这扩展了Allard的边界单调性公式（参见“关于变倍边界表现的一阶变分”），该公式要求边界是$C^{1,1}$。作为推论，Allard的边界正则性结果扩展到这种情况，并提供了一个正则性结果与$C^{1,α}$ "边界“的可求长变倍。
2014-09-10 math.AP
An Allard type regularity theorem for varifolds with Hölder continuous generalized normal
我们证明了Allard正则性定理适用于可求长的$n$维变分$V$，并在一阶变分上假设了一个较弱的条件.在$V$是光滑流形的特殊情况下，这转化为：如果$ω_n^{-1}ρ^{-n}{\rm area}(V\cap B_ρ(x))$足够接近$1$，并且$V$的单位法线满足$C^{0,α}$估计，则$V\cap B_{ρ/2}(x)$是具有估计的$C^{1,α}$函数的图。此外，一个类似的边界正则性定理也成立。
2013-11-15 math.AP
The epsilon-regularity theorem for Brakke flows near triple junctions
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文建立了 k 维 Brakke flows 在静态三分叉点附近的 ε-正则性定理，证明了在满足温和结构假设下三分叉点的正则结构在弱平均曲率流中得以保持，并证实两类基本流无条件满足该假设。
2025-10-14 math.AP math.DG
Allard Regularity for Abelian Yang--Mills--Higgs Equation
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
研究在$\e \to 0$极限下阿贝尔自对偶杨-米尔斯-希格斯方程的解，通过Allard正则性理论方法，构造近似解并分析扰动，获得解的Hölder正则性及几何框架。
2026-11-11 math.AP math.DG
Allard-Type Regularity for Varifolds with Prescribed Contact Angle
本文证明了在给定域边界上具有 prescribed contact angle 的积分 varifold，在 tangent cone 为 density one 的 half-hyperplane 条件下，其支撑集在边界点附近是 $C^{1,γ}$ 超曲面。
2024-03-26 math.AP math.DG
Allard's interior $\varepsilon$-Regularity Theorem in Alexandrov spaces
将 Allard 内部 ε-正则性定理推广到具有上下曲率有界的非塌缩 Alexandrov 空间，针对广义平均曲率在 L^p_loc (p>m) 中的 m 维 varifold，通过内在证明和逼近定理实现。
2026-06-07 math.AP math.DG math.MG
Brakke's formulation of velocity and the second order regularity property
研究Brakke速度公式下曲面演化的正则性：当流弱接近静态平面时可表为$C^{1,\boldsymbol{\beta}}$图，在$k=n-1$且分布时间导数为符号Radon测度时，证明图逐点满足PDE，并给出短时存在定理应用。
2022-01-13 math.AP math.DG
An Allard-type boundary regularity theorem for $2d$ minimizing currents at smooth curves with arbitrary multiplicity
我们考虑积分面积最小化$2$维电流$T$在$U\subset \mathbb R^{2+n}$与$\partial T = Q[\![Γ]\!]$，其中$Q\in \mathbb N \setminus \{0\}$和$Γ$是足够光滑的。我们证明，如果$q\in Γ$是一个点，其中$T$的密度严格低于$\frac{Q+1}{2}$，那么电流是定期在$q$。正则性在以下意义上理解：$q$有一个邻域，其中$T$由有限个在$Γ$横向相交的正则极小子流形组成（并以适当的整数重数计数）。鉴于著名的例子，我们的结果是最佳的，它是第一个非平凡的推广的经典定理的阿拉德$Q=1$。作为推论，如果$Ω\subset \mathbb R^{2+n}$是有界一致凸集，$Γ\subset \partial Ω$是光滑$1$维闭子流形，则任何具有$\partial T = Q [\![Γ]\!]$的面积最小化当前$T$在$Γ$的邻域中是正则的.
2021-11-04 math.AP
Regularity of free boundary minimal surfaces in locally polyhedral domains
本文证明了凸多面体上Lipschitz域自由边界极小曲面的Allard型正则性定理。我们表明，如果这样一个极小曲面是足够接近一个适当的自由边界平面，那么表面是$C^{1,α}$图形在这个平面上。我们应用我们的定理证明部分的自由边界极小化超曲面的正则性结果，和相对的等周区域。
2021-05-26 math.AP math.DG
Viscosity solutions and the minimal surface system
给出了极小曲面系统黏性解的定义，并证明了Allard正则性定理在此条件下的一个形式。
2017-05-22 math.AP
Geometric measure theory and differential inclusions
本文考虑函数的Lipschitz图，这些函数是严格多凸能量的驻点。这样的图形可以被认为是积分电流，分别。Varifolds，对于某些椭圆被积函数是平稳的。后者的正则性理论是一个广泛开放的问题，特别是没有对应的经典阿拉德定理是已知的。我们从微分包含的角度来解决这个问题，并且我们证明了相关的微分包含不包含在[22]和[25]中用来构造非正则解的层板类。因此，我们的结果表明，阿拉德型结果可能是有效的一般椭圆被积。最后，我们列出了一系列公开的问题，关于椭圆被积函数的稳定点的正则性。
2019-10-10 math.AP
A second derivative Hölder estimate for weak mean curvature flow
证明了单位密度假设下的Brakke中曲率流在时空中几乎处处光滑。更一般地说，如果速度在弱意义上等于它的中曲率加上某个给定的α-Hölder连续向量场，那么我们几乎处处证明C^{2，α}正则性。
2012-04-20 math.AP math.DG
A local regularity theorem for mean curvature flow with triple edges
R^{n+k}中沿光滑边和低维面上的高阶结点以等角度相交的n维曲面簇的中曲率流是经典中曲率流的自然扩张。我们称这样的流为具有三重边的中曲率流。我们证明了，如果一个光滑的三重边中曲率流弱接近于三个n维单位密度半平面的静态并，那么它是光滑接近的。扩展的正则性结果一类积分Brakke流，我们表明，这意味着从一个初始的表面集群，有三重边缘，但没有高阶路口的流动光滑的短时间存在。
2017-06-06 math.AP math.DG
Regularity of varifolds with bounded anisotropic first variation
Bocconi University（博科尼大学）；MIT（麻省理工学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文证明各向异性被积函数下具有$L^p$平均曲率的varifolds的$\varepsilon$-正则性定理，建立任意余维数的各向异性Allard正则性，并给出满足条件但不接近椭球范数的各向异性实例。
2026-09-18 math.AP math.DG
Regularity of solutions of the isoperimetric problem that are close to a smooth manifold
在这项工作中，我们考虑的一个问题，在变分的动机黎曼几何，等周问题。我们发现，解决方案的等周问题，在平坦的规范，一个光滑的子流形，本身是光滑的和$C^{2,α}$ -接近给定的子流形。我们还显示了一个版本的流形上的可变度量。所使用的技术包括线性椭圆分析的标准方法和黎曼几何的比较定理、最小化变倍的阿拉德正则性定理、纳什的等距浸入定理以及格罗莫夫的参数版本。
2017-10-19 math.AP math.DG math.MG
A new proof of Savin's theorem on Allen-Cahn equations
本文对Allen-Cahn方程建立了一个改进的倾斜-过剩衰减估计，并利用它给出了Savin关于平坦水平集的一致$C^{1,α}$正则性定理的一个新的证明，从而暗示了$n\leq 7$的$\mathbb{R}^n$中极小元的一维对称性.这将Allard的$\varepsilon$ -正则性定理推广到Allen-Cahn方程的情形。
2015-12-01 math.AP
Quadratic flatness and Regularity for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature
该研究证明了具有有界各向异性均曲率的变分在几乎所有点上具有正则性，结合Allard定理进一步表明其在密度为1的点上具有更高级的正则性。
2026-01-28 math.AP math.DG
On the Nature of Stationary Integral Varifolds near Multiplicity 2 Planes
本文研究重数为2的平面附近稳态积分变分体的结构，在密度小于2部分满足拓扑条件下建立ε-正则性定理，证明其由广义C^{1,α}的Lipschitz 2-值函数图表示，并给出切锥分类及对稳态2-值Lipschitz图的无条件应用。
2025-07-17 math.AP math.DG
