简单生成树中最大保护数的分布
The distribution of the maximum protection number in simply generated trees
AI总结：
本文研究简单生成树中顶点最大保护数的分布，针对是否允许出度为1的顶点分别给出对数量级与双对数量级的渐近结果，并改进已有结论。
摘要：
树中顶点 $v$ 的保护数是指从 $v$ 到以 $v$ 为根的最大子树中所含任意叶子的最短路径长度。本文确定了简单生成树中顶点最大保护数的分布，从而改进了 Devroye、Goh 和 Zhao 最近的一个结果。可以观察到两种不同的情形：如果给定的树族允许出度为 $1$ 的顶点，则最大保护数平均而言是树规模的对数量级，并具有离散双指数极限分布。如果不允许这样的顶点，则最大保护数是树规模的双对数量级，并且集中在至多两个值上。这些结果是通过研究保护数有界的树的生成函数的奇异行为得到的。虽然 Prodinger 和 Wagner 的一般分布结果可用于第一种情形，但我们在第二种情形中证明了该结果的一个变体。
英文摘要：
The protection number of a vertex $v$ in a tree is the length of the shortest path from $v$ to any leaf contained in the maximal subtree where $v$ is the root. In this paper, we determine the distribution of the maximum protection number of a vertex in simply generated trees, thereby refining a recent result of Devroye, Goh and Zhao. Two different cases can be observed: if the given family of trees allows vertices of outdegree $1$, then the maximum protection number is on average logarithmic in the tree size, with a discrete double-exponential limiting distribution. If no such vertices are allowed, the maximum protection number is doubly logarithmic in the tree size and concentrated on at most two values. These results are obtained by studying the singular behaviour of the generating functions of trees with bounded protection number. While a general distributional result by Prodinger and Wagner can be used in the first case, we prove a variant of that result in the second case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
