Cantor 集上的 Lipschitz-free 空间与逼近性质
Lipschitz-free spaces over Cantor sets and approximation properties
AI总结：
本文研究 Cantor 集上 Lipschitz-free 空间的逼近性质，证明具有度量逼近性质的度量构成剩余 $F_{\sigma\delta}$ 集，而不具有逼近性质的度量构成稠密 meager 集，回答了 Godefroy 的问题。
摘要：
设 $K=2^\mathbb{N}$ 为 Cantor 集，$\mathcal{M}$ 为 $K$ 上赋予其通常（乘积）拓扑的所有度量 $d$ 的集合，并将 $\mathcal{M}$ 配备一致收敛拓扑，其中度量被视为 $K^2$ 上的函数。我们证明：使 Lipschitz-free 空间 $\mathcal{F}(K,d)$ 具有度量逼近性质的度量 $d\in\mathcal{M}$ 的集合是 $\mathcal{M}$ 中的剩余 $F_{\sigma\delta}$ 集；而使 $\mathcal{F}(K,d)$ 不具有逼近性质的度量 $d\in\mathcal{M}$ 的集合是 $\mathcal{M}$ 中的稠密 meager 集。这回答了 G. Godefroy 提出的一个问题。
英文摘要：
Let $K=2^\mathbb{N}$ be the Cantor set, let $\mathcal{M}$ be the set of all metrics $d$ on $K$ that give its usual (product) topology, and equip $\mathcal{M}$ with the topology of uniform convergence, where the metrics are regarded as functions on $K^2$. We prove that the set of metrics $d\in\mathcal{M}$ for which the Lipschitz-free space $\mathcal{F}(K,d)$ has the metric approximation property is a residual $F_{σδ}$ set in $\mathcal{M}$, and that the set of metrics $d\in\mathcal{M}$ for which $\mathcal{F}(K,d)$ fails the approximation property is a dense meager set in $\mathcal{M}$. This answers a question posed by G. Godefroy.
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