与 Weyl 变换及 R^{2n} 上扭曲平移系统相关联的 Zak 变换
Zak transform associated with the Weyl transform and the system of twisted translates on R^{2n}
AI总结：
本文引入与 Weyl 变换关联的 Zak 变换，刻画扭曲平移系统的框架、Riesz 序列、双正交性及 Schauder 基条件。
摘要：
我们在与 Weyl 变换相关联的 $L^{2}(\mathbb{R}^{2n})$ 上引入 Zak 变换。利用该变换，我们定义了一个括号映射，并证明扭曲平移系统 $\{T^{t}_{(k,l)}\phi:k,l\in\mathbb{Z}^{n}\}$ 是框架序列，当且仅当对于几乎处处 $(\xi,\xi')\in\Omega_\phi$，有 $0<A\leq[\phi,\phi](\xi,\xi')\leq B<\infty$，其中 $\Omega_\phi=\{(\xi,\xi')\in\mathbb{T}^{n}\times\mathbb{T}^{n}:[\phi,\phi](\xi,\xi')\neq0\}$。我们还证明了系统 $\{T^{t}_{(k,l)}\phi:k,l\in\mathbb{Z}^{n}\}$ 成为 Riesz 序列的类似结果。对于属于主扭曲平移不变空间 $V^{t}(\phi)$ 的给定函数，我们找到了规范双正交函数存在的充要条件。此外，我们利用 Muckenhoupt $\mathcal{A}_{2}$ 权函数，得到了系统 $\{T^{t}_{(k,l)}\phi:k,l\in\mathbb{Z}\}$ 成为 $V^{t}(\phi)$ 的 Schauder 基的刻画。
英文摘要：
We introduce the Zak transform on $L^{2}(\mathbb{R}^{2n})$ associated with the Weyl transform. By making use of this transform, we define a bracket map and prove that the system of twisted translates $\{T^{t}_{(k,l)}ϕ: k,l\in \mathbb{Z}^{n}\}$ is a frame sequence iff $0<A\leq \left[ϕ,ϕ\right](ξ,ξ^{'})\leq B<\infty,$ for a.e $(ξ,ξ^{'})\in Ω_ϕ,$ where $Ω_ϕ=\{(ξ,ξ^{'})\in \mathbb{T}^{n}\times\mathbb{T}^{n} : \left[ϕ,ϕ\right](ξ,ξ^{'})\neq 0\}$. We also prove a similar result for the system $\{T^{t}_{(k,l)}ϕ: k,l\in \mathbb{Z}^{n}\}$ to be a Riesz sequence. For a given function belonging to the principal twisted shift-invariant space $V^{t}(ϕ)$, we find a necessary and sufficient condition for the existence of a canonical biorthogonal function. Further, we obtain a characterization for the system $\{T^{t}_{(k,l)}ϕ: k,l\in\mathbb{Z}\}$ to be a Schauder basis for $V^{t}(ϕ)$ in terms of a Muckenhoupt $\mathcal{A}_{2}$ weight function.
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