关于 ZFA 中 Stone-Čech 紧致化的注记
A note on Stone-Čech compactification in ZFA
AI总结：
本文在 ZFA 和 $\omega$-稳定结构下，证明可定义集的 Stone-Čech 紧致化可将无限构造编码为有限构造，且该紧致化保持可定义性，进而揭示了寄存器机特定形式化的等价性。
摘要：
在带有原子的 Zermelo-Fraenkel 集合论（ZFA）以及 $\omega$-范畴 $\omega$-稳定结构上，我们展示了如何将可定义集上的\emph{无限}构造编码为这些集合的 Stone-Čech 紧致化上的\emph{有限}构造。具体而言，我们证明对于可定义集 $X$ 及其 Stone-Čech 紧致化 $\overline{X}$，以下结论成立：a) $X$ 的幂集 $\mathcal{P}(X)$ 同构于 $\overline{X}$ 的有限幂集 $\mathcal{P}_{\textit{fin}}(\overline{X})$；b) 域 $\mathcal{K}$ 上的向量空间 $\mathcal{K}^X$ 是 $\overline{X}$ 在 $\mathcal{K}$ 上的自由向量空间 $F_{\mathcal{K}}(\overline{X})$；c) $X$ 上的每个测度等价于 $\overline{X}$ 上的一个\emph{离散}测度。此外，我们证明了可定义集的 Stone-Čech 紧致化仍是可定义的，这使我们能够获得一些关于寄存器机的特定形式化等价性的结果。
英文摘要：
Working in Zermelo-Fraenkel Set Theory with Atoms over an $ω$-categorical $ω$-stable structure, we show how \emph{infinite} constructions over definable sets can be encoded as \emph{finite} constructions over the Stone-Čech compactification of the sets. In particular, we show that for a definable set $X$ with its Stone-Čech compactification $\overline{X}$ the following holds: a) the powerset $\mathcal{P}(X)$ of $X$ is isomorphic to the finite-powerset $\mathcal{P}_{\textit{fin}}(\overline{X})$ of $\overline{X}$, b) the vector space $\mathcal{K}^X$ over a field $\mathcal{K}$ is the free vector space $F_{\mathcal{K}}(\overline{X})$ on $\overline{X}$ over $\mathcal{K}$, c) every measure on $X$ is tantamount to a \emph{discrete} measure on $\overline{X}$. Moreover, we prove that the Stone-Čech compactification of a definable set is still definable, which allows us to obtain some results about equivalence of certain formalizations of register machines.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
