Gaudin 模型与 Deligne 范畴
Gaudin model and Deligne's category
AI总结：
本文利用 Deligne 范畴将李代数相关的高阶 Gaudin 哈密顿量及无单值条件插值到任意复数 n，并证明了无单值微分算子的比值是无单值伪微分算子。
摘要：
我们证明了与李代数 $\mathfrak{gl}_{n}$ 相关的高阶 Gaudin 哈密顿量的构造允许插值到任意复数 $n$。我们使用 Deligne 范畴 $\mathcal{D}_{t}$ 来实现这一点，当 $n$ 不一定是自然数时，该范畴是定义 $GL_{n}$ 群的有限维表示范畴的一种形式化方法。我们还获得了在 $n$ 阶微分算子空间上的无单值条件向任意复数 $n$ 的插值，这些条件被认为是 Bethe ansatz 方程的现代形式。我们证明了复数 $n$ 的高阶 Gaudin 哈密顿量代数中的关系是由我们对无单值条件的插值生成的。我们的构造允许我们定义伪微分算子无单值意味着什么。在 Bethe ansatz 猜想（与李超代数 $\mathfrak{gl}_{n\vert n'}$ 相关的 Gaudin 模型相关）的推动下，我们证明了无单值微分算子的比值是一个无单值的伪微分算子。
英文摘要：
We show that the construction of the higher Gaudin Hamiltonians associated to the Lie algebra $\mathfrak{gl}_{n}$ admits an interpolation to any complex $n$. We do this using the Deligne's category $\mathcal{D}_{t}$, which is a formal way to define the category of finite-dimensional representations of the group $GL_{n}$, when $n$ is not necessarily a natural number. We also obtain interpolations to any complex $n$ of the no-monodromy conditions on a space of differential operators of order $n$, which are considered to be a modern form of the Bethe ansatz equations. We prove that the relations in the algebra of higher Gaudin Hamiltonians for complex $n$ are generated by our interpolations of the no-monodromy conditions. Our constructions allow us to define what it means for a pseudo-deifferential operator to have no monodromy. Motivated by the Bethe ansatz conjecture for the Gaudin model associated with the Lie superalgebra $\mathfrak{gl}_{n\vert n'}$, we show that a ratio of monodromy-free differential operators is a pseudo-differential operator without monodromy.
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