特征为二的 $C_{\ell}$ 型单代数群的伴随 Jordan 块
Adjoint Jordan blocks for simple algebraic groups of type $C_{\ell}$ in characteristic two
AI总结：
本文研究特征 2 的 $C_{\ell}$ 型单代数群，确定所有幂等元伴随作用与幂零元伴随算子的 Jordan 块大小，并给出伴随型群在导代数上的结果。
摘要：
设 $G$ 是代数闭域 $K$ 上的单代数群，其 Lie 代数为 $\mathfrak{g}$。对于幂等元 $u \in G$ 和幂零元 $e \in \mathfrak{g}$，$\operatorname{Ad}(u)$ 与 $\operatorname{ad}(e)$ 的 Jordan 块大小在多数情形下已经确定。在尚未解决的情形中，群 $G$ 是坏特征下的经典型，因此 $\operatorname{char} K = 2$，且 $G$ 为 $B_{\ell}$、$C_{\ell}$ 或 $D_{\ell}$ 型。本文考虑 $G$ 为 $C_{\ell}$ 型且 $\operatorname{char} K = 2$ 的情形。作为主要结果，我们对所有幂等元 $u \in G$ 和幂零元 $e \in \mathfrak{g}$ 确定了 $\operatorname{Ad}(u)$ 与 $\operatorname{ad}(e)$ 的 Jordan 块大小。在 $G$ 为伴随型的情形下，我们还将描述其在 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ 上的 Jordan 块大小。
英文摘要：
Let $G$ be a simple algebraic group over an algebraically closed field $K$ with Lie algebra $\mathfrak{g}$. For unipotent elements $u \in G$ and nilpotent elements $e \in \mathfrak{g}$, the Jordan block sizes of $\operatorname{Ad}(u)$ and $\operatorname{ad}(e)$ are known in most cases. In the cases that remain, the group $G$ is of classical type in bad characteristic, so $\operatorname{char} K = 2$ and $G$ is of type $B_{\ell}$, $C_{\ell}$, or $D_{\ell}$. In this paper, we consider the case where $G$ is of type $C_{\ell}$ and $\operatorname{char} K = 2$. As our main result, we determine the Jordan block sizes of $\operatorname{Ad}(u)$ and $\operatorname{ad}(e)$ for all unipotent $u \in G$ and nilpotent $e \in \mathfrak{g}$. In the case where $G$ is of adjoint type, we will also describe the Jordan block sizes on $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$.
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