多维分拆数的界
Bounds for the number of multidimensional partitions
AI总结：
本文研究多维整数分拆数 $p_d(n)$ 的对数增长界，证明在 $d$ 相对 $n$ 足够小时上界常数与维度无关，并给出不同维度范围内的渐近估计。
摘要：
我们得到了关于数 n 的 $(d-1)$ 维整数分拆数 $p_d(n)$ 的估计。已知双边不等式 $C_1(d)n^{1-1/d}<\log p_d(n)<C_2(d)n^{1-1/d}$ 始终成立，并且当 $\log n>3d$ 时有 $C_1(d)>1$。然而，确定 $C_2$ 对 $d$ 的“正确”依赖关系仍是一个开放问题。我们证明，如果 $d$ 相对于 $n$ 足够小，则 $C_2$ 不依赖于 $d$；这意味着 $\log p_d(n)$ 在相差一个绝对常数的意义下等于 $n^{1-1/d}$。此外，我们还给出了以 $n$ 表示的、不同 $d$ 范围内 $p_d(n)$ 的估计，从而得到每种情形下 $\log p_d(n)$ 的渐近式。
英文摘要：
We obtain estimates for the number $p_d(n)$ of $(d-1)$-dimensional integer partitions of a number $n$. It is known that the two-sided inequality $C_1(d)n^{1-1/d}<\log p_d(n)< C_2(d)n^{1-1/d}$ is always true and that $C_1(d)>1$ whenever $\log n> 3d$. However, establishing the $``$right$"$ dependence of $C_2$ on $d$ remained an open problem. We show that if $d$ is sufficiently small with respect to $n$, then $C_2$ does not depend on $d$, which means that $\log p_d(n)$ is up to an absolute constant equal to $n^{1-1/d}$. Besides, we provide estimates of $p_d(n)$ for different ranges of $d$ in terms of $n$, which give the asymptotics of $\log p_d(n)$ in each case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
