不确定性区域由线段给定时的连通性
Connectivity with uncertainty regions given as line segments
AI总结：
针对点位置受线段约束的最小连通半径问题，提出以不确定点数 $k$ 为参数的 FPT 精确算法，复杂度为 $O(f(k)n\log n)$，显著优于此前仅能固定精度求解的算法。
摘要：
对于平面中的点集 $Q$ 和实数 $δ\ge 0$，令 $\mathbb{G}_δ(Q)$ 表示定义在 $Q$ 上的图：将每一对距离至多为 $δ$ 的点连接起来。我们在最优情形下考虑 $\mathbb{G}_δ(Q)$ 的连通性，此时少数点的位置不确定，但对每个不确定点，我们都知道一条包含它的线段。更准确地说，我们考虑以下优化问题：给定平面中包含 $n-k$ 个点的集合 $P$，以及平面中包含 $k$ 条线段的集合 $S$，求最小的 $δ\ge 0$，使得我们能够为每条线段 $s\in S$ 选择一个点 $p_s\in s$，并且相应的图 $\mathbb{G}_δ(P\cup\{p_s\mid s\in S\})$ 是连通的。已知该问题是 NP 难的。对于某个可计算函数 $f(\cdot)$，我们给出了一种能在 $O(f(k)n\log n)$ 时间内精确计算最优解的算法。这意味着该问题在以 $k$ 为参数时是 FPT 的。此前最好的算法使用 $O((k!)^k k^{k+1}\cdot n^{2k})$ 时间，并且只能计算到固定精度的解。
英文摘要：
For a set $Q$ of points in the plane and a real number $δ\ge 0$, let $\mathbb{G}_δ(Q)$ be the graph defined on $Q$ by connecting each pair of points at distance at most $δ$. We consider the connectivity of $\mathbb{G}_δ(Q)$ in the best scenario when the location of a few of the points is uncertain, but we know for each uncertain point a line segment that contains it. More precisely, we consider the following optimization problem: given a set $P$ of $n-k$ points in the plane and a set $S$ of $k$ line segments in the plane, find the minimum $δ\ge 0$ with the property that we can select one point $p_s\in s$ for each segment $s\in S$ and the corresponding graph $\mathbb{G}_δ( P\cup \{ p_s\mid s\in S\})$ is connected. It is known that the problem is NP-hard. We provide an algorithm to exactly compute an optimal solution in $O(f(k) n \log n)$ time, for a computable function $f(\cdot)$. This implies that the problem is FPT when parameterized by $k$. The best previous algorithm uses $O((k!)^k k^{k+1}\cdot n^{2k})$ time and computes the solution up to fixed precision.
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