Lorentz 球的概率方法
A probabilistic approach to Lorentz balls
AI总结：
本文用概率方法研究有限维 Lorentz 序列空间单位球的体积与几何性质，证明了经验分布弱收敛、最大坐标的中心极限定理及交集体积的 Schechtman-Schmuckenschläger 型结果。
摘要：
我们发展了一种概率方法来研究有限维 Lorentz 序列空间 $\ell_{q,1}^n$ 的单位球 $\mathbb B_{q,1}^n$ 的体积和几何性质。更精确地说，我们证明了在 $\mathbb R^n$ 中体积归一化的 Lorentz 球上均匀分布的随机向量 $X^{(n)}$ 的经验分布弱收敛到一个具有显式密度的紧支撑对称概率分布；作为推论，当 $n\to\infty$ 时，对于 $X^{(n)}$ 的任意固定数量 $k\in\mathbb N$ 的坐标，我们得到了弱 Poincaré-Maxwell-Borel 原理。此外，我们证明了 $X^{(n)}$ 的最大坐标的中心极限定理，展示了与 $\ell_q^n$ 球情形相当不同的行为，在后者中极限出现 Gumbel 分布。最后但同样重要的是，我们证明了体积归一化的 Lorentz 球与 $\ell^n_p$ 球交集渐近体积的 Schechtman-Schmuckenschläger 型结果。
英文摘要：
We develop a probabilistic approach to study the volumetric and geometric properties of unit balls $\mathbb B_{q,1}^n$ of finite-dimensional Lorentz sequences spaces $\ell_{q,1}^n$. More precisely, we show that the empirical distribution of a random vector $X^{(n)}$ uniformly distributed on the volume normalized Lorentz ball in $\mathbb R^n$ converges weakly to a compactly supported symmetric probability distribution with explicitly given density; as a consequence we obtain a weak Poincaré-Maxwell-Borel principle for any fixed number $k\in\mathbb N$ of coordinates of $X^{(n)}$ as $n\to\infty$. Moreover, we prove a central limit theorem for the largest coordinate of $X^{(n)}$, demonstrating a quite different behavior than in the case of the $\ell_q^n$ balls, where a Gumbel distribution appears in the limit. Last but not least, we prove a Schechtman-Schmuckenschläger type result for the asymptotic volume of intersections of volume normalized Lorentz and $\ell^n_p$ balls.
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