关于与Josefson–Nissenzweig定理相关的有限支撑测度序列
On sequences of finitely supported measures related to the Josefson--Nissenzweig theorem
AI总结：
本文研究Tychonoff空间上的有限支撑Josefson–Nissenzweig序列，证明若存在JN-序列，则可构造支撑集两两不交且并为离散集的JN-序列，并给出支撑集大小要么恒为2要么趋于无穷的二择一结论。
摘要：
给定一个Tychonoff空间$X$，我们称$X$上的带符号Borel测度序列$\langleμ_n\colon n\inω\rangle$为有限支撑Josefson–Nissenzweig序列（简称JN-序列），如果：1) 对每个$n\inω$，测度$μ_n$是单点测度的有限组合且$\\|μ_n\\|=1$；2) 对每个连续函数$f\in C(X)$，有$\int_Xf\\,\mathrm{d}μ_n\to0$。我们的主要结果断言：如果一个Tychonoff空间$X$容许一个JN-序列，则存在一个JN-序列$\langleμ_n\colon n\inω\rangle$使得：i) 对每个$n\neq k\inω$，有$\mbox{supp}(μ_n)\cap\mbox{supp}(μ_k)=\emptyset$；ii) 并集$\bigcup_{n\inω}\mbox{supp}(μ_n)$是$X$的离散子集。我们还证明：如果一个Tychonoff空间$X$携带一个JN-序列，则要么存在$X$上的JN-序列$\langleμ_n\colon n\inω\rangle$使得对每个$n\inω$有$|\mbox{supp}(μ_n)|=2$，要么对$X$上的每个JN-序列$\langleμ_n\colon n\inω\rangle$都有$\lim_{n\to\infty}|\mbox{supp}(μ_n)|=\infty$。
英文摘要：
Given a Tychonoff space $X$, we call a sequence $\langleμ_n\colon n\inω\rangle$ of signed Borel measures on $X$ a finitely supported Josefson--Nissenzweig sequence (in short a JN-sequence) if: 1) for every $n\inω$ the measure $μ_n$ is a finite combination of one-point measures and $\|μ_n\|=1$, and 2) $\int_Xf\,\mathrm{d}μ_n\to0$ for every continuous function $f\in C(X)$. Our main result asserts that if a Tychonoff space $X$ admits a JN-sequence, then there exists a JN-sequence $\langleμ_n\colon n\inω\rangle$ such that: i) $\mbox{supp}(μ_n)\cap\mbox{supp}(μ_k)=\emptyset$ for every $n\neq k\inω$, and ii) the union $\bigcup_{n\inω}\mbox{supp}(μ_n)$ is a discrete subset of $X$. We also prove that if a Tychonoff space $X$ carries a JN-sequence, then either there is a JN-sequence $\langleμ_n\colon n\inω\rangle$ on $X$ such that $|\mbox{supp}(μ_n)|=2$ for every $n\inω$, or for every JN-sequence $\langleμ_n\colon n\inω\rangle$ on $X$ we have $\lim_{n\to\infty}|\mbox{supp}(μ_n)|=\infty$.
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