Dumont-Thomas 补码记数系统在 $\mathbb{Z}$ 上的推广
Dumont-Thomas complement numeration systems for $\mathbb{Z}$
AI总结：
本文受二进制补码启发，将Dumont-Thomas记数系统推广到整数集，基于替换的双侧周期点构造自动机，并给出正则语言全序的等价刻画，还恢复了补码及其斐波那契模拟。
摘要：
我们受二进制补码记数系统的启发，将著名的 Dumont--Thomas 记数系统推广到整数集 $\mathbb{Z}$。$\mathbb{Z}$ 中的整数由有限字（非负整数以 $\mathtt{0}$ 开头，负数以 $\mathtt{1}$ 开头）规范表示。该系统基于替换的双侧周期点，而非右侧不动点。对于替换的每个周期点，我们构造一个自动机，当输入整数 $n$ 在相应记数系统中的表示时，输出该周期点在位置 $n\in\mathbb{Z}$ 处的字母。该记数系统自然推广到 $\mathbb{Z}^d$。我们给出了该记数系统在正则语言上的全序方面的等价刻画。最后，利用特定的周期点，我们恢复了著名的二进制补码记数系统以及二进制补码记数系统的斐波那契模拟。
英文摘要：
We extend the well-known Dumont--Thomas numeration systems to $\mathbb{Z}$ using an approach inspired by the two's complement numeration system. Integers in $\mathbb{Z}$ are canonically represented by a finite word (starting with $\mathtt{0}$ when nonnegative and with $\mathtt{1}$ when negative). The systems are based on two-sided periodic points of substitutions as opposed to the right-sided fixed points. For every periodic point of a substitution, we construct an automaton which returns the letter at position $n\in\mathbb{Z}$ of the periodic point when fed with the representation of $n$ in the corresponding numeration system. The numeration system naturally extends to $\mathbb{Z}^d$. We give an equivalent characterization of the numeration system in terms of a total order on a regular language. Lastly, using particular periodic points, we recover the well-known two's complement numeration system and the Fibonacci analogue of the two's complement numeration system.
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