关于 Waring 问题：超越 Freiman 定理
On Waring's problem: beyond Freiman's theorem
AI总结：
本文将 Freiman 关于 Waring 问题的定理有效化，证明了指数倒数和的具体下界条件，并在指数序列构成等差数列时得出更强的整数表示结论。
摘要：
设 $k_i\in \mathbb N$ $(i\ge 1)$ 满足 $2\le k_1\le k_2\le \ldots $。Freiman 定理表明，当 $j\in \mathbb N$ 时，存在 $s=s(j)\in \mathbb N$ 使得所有大整数 $n$ 均能表示为 $n=x_1^{k_j}+x_2^{k_{j+1}}+\ldots +x_s^{k_{j+s-1}}$（其中 $x_i\in \mathbb N$）的形式，当且仅当 $\sum k_i^{-1}$ 发散。我们通过证明对于每个固定的 $j$，只需满足条件 \\[ \sum_{i=j}^\infty k_i^{-1}\ge 2\log k_j +4.71 \\] 即可使该定理有效化。当指数序列构成等差数列时，我们得出了更强的结论。例如，当 $k\in \mathbb N$ 且 $s\ge 100(k+1)^2$ 时，所有大整数 $n$ 均可表示为 $n=x_1^k+x_2^{k+1}+\ldots +x_s^{k+s-1}$（其中 $x_i\in \mathbb N$）的形式。
英文摘要：
Let $k_i\in \mathbb N$ $(i\ge 1)$ satisfy $2\le k_1\le k_2\le \ldots $. Freiman's theorem shows that when $j\in \mathbb N$, there exists $s=s(j)\in \mathbb N$ such that all large integers $n$ are represented in the form $n=x_1^{k_j}+x_2^{k_{j+1}}+\ldots +x_s^{k_{j+s-1}}$, with $x_i\in \mathbb N$, if and only if $\sum k_i^{-1}$ diverges. We make this theorem effective by showing that, for each fixed $j$, it suffices to impose the condition \[ \sum_{i=j}^\infty k_i^{-1}\ge 2\log k_j +4.71. \] More is established when the sequence of exponents forms an arithmetic progression. Thus, for example, when $k\in \mathbb N$ and $s\ge 100(k+1)^2$, all large integers $n$ are represented in the form $n=x_1^k+x_2^{k+1}+\ldots +x_s^{k+s-1}$, with $x_i\in \mathbb N$.
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