关于4生成伪对称单项式曲线的Hilbert函数单调性
On the monotonicity of the Hilbert functions for 4-generated pseudo-symmetric monomial curves
AI总结：
本文证明4生成伪对称数值半群局部环的Hilbert函数在生成元递增时非递减，通过刻画非Cohen-Macaulay切锥的标准基并显式计算Hilbert函数解决猜想。
摘要：
本文解决了如下猜想：当 $n_1 < n_2 < n_3 < n_4$ 时，4生成伪对称数值半群 $\langle n_1,n_2,n_3,n_4 \rangle$ 的局部环的Hilbert函数总是非递减的。当切锥不是Cohen-Macaulay时，我们给出了标准基的完整刻画，表明标准基中元素的个数依赖于我们定义的某些参数 $s_j$。由于切锥不是Cohen-Macaulay，Hilbert函数的非递减性并不保证成立，我们通过显式的Hilbert函数计算证明了非递减性。
英文摘要：
In this article we solve the conjecture "Hilbert function of the local ring for a 4 generated pseudo-symmetric numerical semigroup $\langle n_1,n_2,n_3,n_4 \rangle$ is always non-decreasing when $ n_1 < n_2 < n_3 < n_4$". We give a complete characterization to the standard bases when the tangent cone is not Cohen-Macaulay by showing that the number of elements in the standard basis depends on some parameters $s_j$ 's we define. Since the tangent cone is not Cohen-Macaulay, non-decreasingness of the Hilbert fuction was not guaranteed, we proved the non-decreasingness from our explicit Hilbert Function computation.
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