Ungar 博弈
The Ungar Games
AI总结：
本文引入并研究有限格上的 Ungar 博弈，证明 S_n 弱序中 Eeta 胜主序理想数量的上界，刻画 Young 格区间与 Tamari 格中的 Eeta 胜情形并给出计数，最后讨论公开问题与计算复杂性。
摘要：
设 L 为一个有限格。一次 Ungar 移动将元素 x∈L 送到 {x}∪T 的交（meet），其中 T 是 x 所覆盖的元素集合的一个子集。我们引入如下 Ungar 博弈：从 L 的顶元素出发，两名玩家——Atniss 和 Eeta——轮流进行非平凡的 Ungar 移动；首先无法进行移动的玩家输掉博弈。Atniss 先手。如果 Atniss（相应地，Eeta）在 L 上的 Ungar 博弈中拥有必胜策略，则称 L 为 Atniss 胜（相应地，Eeta 胜）。我们首先证明，在 S_n 上的弱序中，为 Eeta 胜的主序理想的数量为 O(0.95586^n n!)。随后，我们考虑 Young 格中一类广泛的区间，该类包含所有主序理想，并刻画了该类中的 Eeta 胜情形；由此推导出关于矩形中的序理想以及 A 型根偏序集的精确计数结果。我们还刻画并枚举了 Tamari 格中为 Eeta 胜的主序理想。最后，我们以若干公开问题以及对 Ungar 博弈计算复杂性的简短讨论作结。
英文摘要：
Let $L$ be a finite lattice. An Ungar move sends an element $x\in L$ to the meet of $\{x\}\cup T$, where $T$ is a subset of the set of elements covered by $x$. We introduce the following Ungar game. Starting at the top element of $L$, two players -- Atniss and Eeta -- take turns making nontrivial Ungar moves; the first player who cannot do so loses the game. Atniss plays first. We say $L$ is an Atniss win (respectively, Eeta win) if Atniss (respectively, Eeta) has a winning strategy in the Ungar game on $L$. We first prove that the number of principal order ideals in the weak order on $S_n$ that are Eeta wins is $O(0.95586^nn!)$. We then consider a broad class of intervals in Young's lattice that includes all principal order ideals, and we characterize the Eeta wins in this class; we deduce precise enumerative results concerning order ideals in rectangles and type-$A$ root posets. We also characterize and enumerate principal order ideals in Tamari lattices that are Eeta wins. Finally, we conclude with some open problems and a short discussion of the computational complexity of Ungar games.
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