\mathbb{R}^{d+1} 中近超球区域上 Steklov 特征值的解析性
Analyticity of Steklov Eigenvalues in nearly-hyperspherical domains in \mathbb{R}^{d+1}
AI总结：
本文将维数大于3的近超球区域视为球的扰动，利用参数化变换和Neumann展开的几何估计，证明了Dirichlet-to-Neumann算子及Steklov特征值对形状扰动参数的解析依赖性，推广了Viator和Osting在2维和3维的结果。
摘要：
我们考虑维数大于 3 的近超球区域上的 Dirichlet-to-Neumann 算子（DNO）。将这类区域视为球的扰动，我们证明了对于固定的扰动函数，DNO 对形状扰动参数具有解析依赖性。由此我们得出结论：Steklov 特征值同样对形状扰动参数解析。为得到这些结果，我们采用 Nicholls 和 Nigam（2004）以及 Viator 和 Osting（2020）的策略；我们将扰动区域上的 Laplace-Dirichlet 问题变换为球上一个更复杂、依赖于参数的方程，然后对变换后的 DNO 的 Neumann 展开进行几何估计。这些结果是对 Viator 和 Osting（2020）在维数 2 和 3 情形的推广。
英文摘要：
We consider the Dirichlet-to-Neumann operator (DNO) on nearly-hyperspherical domains in dimension greater than 3. Treating such domains as perturbations of the ball, we prove the analytic dependence of the DNO on the shape perturbation parameter for fixed perturbation functions. Consequently, we conclude that the Steklov eigenvalues are analytic in the shape perturbation parameter as well. To obtain these results, we use the strategy of Nicholls and Nigam (2004), and of Viator and Osting (2020); we transform the Laplace-Dirichlet problem on the perturbed domain to a more complicated, parameter-dependent equation on the ball, and then geometrically bound the Neumann expansion of the transformed DNO. These results are a generalization of the work of Viator and Osting (2020) for dimension 2 and 3.
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