一类退化凸 ∇ϕ-界面模型涨落的上界
Upper bounds on the fluctuations for a class of degenerate convex $\nabla ϕ$-interface models
AI总结：
本文利用 Helffer–Sjöstrand 表示、锚定 Nash 不等式和 Efron 单调性定理，将凸势 ∇ϕ 随机曲面的涨落上界推广到允许退化的势，并证明二维方差为 O(log L)、d≥3 时有界。
摘要：
我们推导了一类具有凸相互作用势的 ∇ϕ 型随机曲面涨落的上界。Brascamp–Lieb 集中不等式为一致凸势给出了这些涨落的上界。我们将这些结果推广到二次连续可微的凸势，其二阶导数渐近地像多项式一样增长，并且可能在一个（任意大的）区间上为零。具体而言，我们证明，当底层图是边长为 L 的 d 维环面时，高度的方差在二维中小于 C ln L，而在维数 d≥3 时保持有界。证明使用了 Helffer–Sjöstrand 表示公式（最初由 Helffer 和 Sjöstrand（1994）提出，并由 Naddaf 和 Spencer（1997）以及 Giacomin、Olla、Spohn（2001）用于识别该模型的标度极限）、Mourrat 和 Otto（2016）建立的锚定 Nash 不等式（以及相应的对角热核上界），以及 Efron 关于对数凹测度的单调性定理（Efron（1965））。
英文摘要：
We derive upper bounds on the fluctuations of a class of random surfaces of the $\nabla ϕ$-type with convex interaction potentials. The Brascamp-Lieb concentration inequality provides an upper bound on these fluctuations for uniformly convex potentials. We extend these results to twice continuously differentiable convex potentials whose second derivative grows asymptotically like a polynomial and may vanish on an (arbitrarily large) interval. Specifically, we prove that, when the underlying graph is the $d$-dimensional torus of side length $L$, the variance of the height is smaller than $C \ln L$ in two dimensions and remains bounded in dimension $d \geq 3$. The proof makes use of the Helffer-Sjöstrand representation formula (originally introduced by Helffer and Sjöstrand (1994) and used by Naddaf and Spencer (1997) and Giacomin, Olla Spohn (2001) to identify the scaling limit of the model), the anchored Nash inequality (and the corresponding on-diagonal heat kernel upper bound) established by Mourrat and Otto (2016) and Efron's monotonicity theorem for log-concave measures (Efron (1965)).
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