帕斯卡行列数组与拉赫姆波尔行列恒等式的一种推广
Pascal Determinantal Arrays and a Generalization of Rahimpour's Determinantal Identity
AI总结：
本文提出帕斯卡行列数组PD_k，通过行列构造推广经典帕斯卡数组，并证明了拉赫姆波尔恒等式的推广形式。
摘要：
我们介绍了一种新的无限数组家族，称为阶k的帕斯卡行列数组PD_k，该数组通过行列构造方法推广了经典的帕斯卡数组。我们为生成PD_k提出了一个递归算法，通过多德森的压缩和加权滑动交叉规则来建立其正确性，并将条目P^{(k)}_{i,j}解释为帕斯卡平面中的加权双杆。我们的主要结果证明了一个猜想，该猜想推广了拉赫姆波尔的恒等式：对于所有i,j,k≥0，P^{(k)}_{i,j}=P^{(j)}_{i,k}，其中P^{(k)}_{i,j}是帕斯卡数组从(i,j)开始的k×k子数组的行列式。证明结合了代数递推技术与基于几何的视觉论证，揭示了行列式帕斯卡结构的内在对称性。
英文摘要：
We introduce a new infinite family of arrays, the \emph{Pascal determinantal arrays} of order $k$, denoted $PD_k$, which generalize the classical Pascal array via determinantal constructions. We present a recursive algorithm for generating $PD_k$, establish its correctness using Dodgson's condensation and a weighted sliding-cross rule, and provide a geometric interpretation of the entries $P^{(k)}_{i,j}$ as weighted double sticks in the Pascal plane. Our main result proves a conjecture that generalizes Rahimpour's identity: for all $i,j,k \ge 0$, \[ P^{(k)}_{i,j} = P^{(j)}_{i,k}, \] where $P^{(k)}_{i,j}$ is the determinant of the $k \times k$ subarray of the Pascal array starting at $(i,j)$. The proof combines algebraic recurrence techniques with a visual, geometry-based argument that reveals the intrinsic symmetry of determinantal Pascal structures.
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