加权Bergman空间中的正交多项式
Orthogonal polynomials in weighted Bergman spaces
AI总结：
本文针对加权Bergman空间中的正交多项式，给出其积分表示，并指出渐近行为取决于相关函数首次遇到的奇点性质。
摘要：
设 $w$ 为单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的一个权函数，其形式为 \\[w(z)=|v(z)|^2\prod_{k=1}^s\left|\frac{z-a_k}{1-z\overline{a}_k}\right|^{m_k}\\,,\quad m_k>-2,\\ |a_k|<1,\\] 其中 $v$ 在 $\overline{\mathbb{D}}$ 上解析且无零点，并设 $(p_n)_{n=0}^\infty$ 为关于 $w$ 在 $\mathbb{D}$ 上正交的多项式序列（$p_n$ 的次数为 $n$）。我们给出 $p_n$ 的一个积分表示，由此原则上可以推导出当 $n\to\infty$ 时其在复平面每一点 $z$ 处的渐近行为，该积分的渐近分析主要依赖于函数 $v(z)^{-1}\prod_{k=1}^s(1-z\overline{a}_k)^{-1}$ 首次遇到的奇点的性质。
英文摘要：
Let $w$ be a weight on the unit disk $\mathbb{D}$ having the form \[w(z)=|v(z)|^2\prod_{k=1}^s\left|\frac{z-a_k}{1-z\overline{a}_k}\right|^{m_k}\,,\quad m_k>-2,\ |a_k|<1,\] where $v$ is analytic and free of zeros in $\overline{\mathbb{D}}$, and let $(p_n)_{n=0}^\infty$ be the sequence of polynomials ($p_n$ of degree $n$) orthonormal over $\mathbb{D}$ with respect to $w$. We give an integral representation for $p_n$ from which it is in principle possible to derive its asymptotic behavior as $n\to\infty$ at every point $z$ of the complex plane, the asymptotic analysis of the integral being primarily dependent on the nature of the first singularities encountered by the function $v(z)^{-1}\prod_{k=1}^s(1-z\overline{a}_k)^{-1}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
