彩虹环数与 EFX 分配：（几乎）弥合差距
Rainbow Cycle Number and EFX Allocations: (Almost) Closing the Gap
AI总结：
本文提出彩虹路径度 ech(ℓ)，建立其下界到 rainbow(d) 上界的转化，几乎弥合彩虹环数差距，并改进 EFX 分配中丢弃物品数量。
摘要：
最近，一些关于不可分割物品公平分配的研究注意到，一个被称为彩虹环问题的纯组合问题与被称为 EFX 的公平性概念之间存在联系：假设参数 d 的彩虹环数（即 rainbow(d)）为 O(d^β log^γ d)，我们可以找到一个带有 O_ε(n^{β/(β+1)} log^{γ/(β+1)} n) 个被丢弃物品的 (1-ε)-EFX 分配。一系列工作将 rainbow(d) 的最佳上界改进到 O(d^4)、O(d^{2+o(1)})，并最终改进到 O(d^2)。脚注指出，引言末尾的注释简要讨论了最后一项结果。此外，通过一个简单观察，我们有 rainbow(d) ∈ Ω(d)。在本文中，我们引入极值组合学中的另一个问题。对于参数 ℓ，我们定义彩虹路径度，并将其记为 ech(ℓ)。我们证明，ech(ℓ) 的任意下界都会产生 rainbow(d) 的一个上界。接着，我们证明 ech(ℓ) ∈ Ω(ℓ^2/log n)，这会产生一个几乎紧的上界 rainbow(d) ∈ Ω(d log d)。这进而证明了存在带有 O_ε(√(n log n)) 个被丢弃物品的 (1-ε)-EFX 分配。此外，对于彩虹环问题中每一部分的边构成一个排列的特殊情形，我们将上界改进为 rainbow(d) ≤ 2d-4。我们利用 ech(ℓ) 来获得这一界。我们猜想 ech(ℓ) 的确切值是 ⌊ℓ^2/2⌋-1。我们提供了一些支持该猜想的实验。假设该猜想正确，我们有 rainbow(d) ∈ Θ(d)。
英文摘要：
Recently, some studies on the fair allocation of indivisible goods notice a connection between a purely combinatorial problem called the Rainbow Cycle problem and a fairness notion known as $\efx$: assuming that the rainbow cycle number for parameter $d$ (i.e. $\rainbow(d)$) is $O(d^β\log^γd)$, we can find a $(1-ε)$-$\efx$ allocation with $O_ε(n^{\fracβ{β+1}}\log^{\fracγ{β+1}} n)$ number of discarded goods \cite{chaudhury2021improving}. The best upper bound on $\rainbow(d)$ is improved in a series of works to $O(d^4)$ \cite{chaudhury2021improving}, $O(d^{2+o(1)})$ \cite{berendsohn2022fixed}, and finally to $O(d^2)$ \cite{Akrami2022}.\footnote{We refer to the note at the end of the introduction for a short discussion on the result of \cite{Akrami2022}.} Also, via a simple observation, we have $\rainbow(d) \in Ω(d)$ \cite{chaudhury2021improving}. In this paper, we introduce another problem in extremal combinatorics. For a parameter $\ell$, we define the rainbow path degree and denote it by $\ech(\ell)$. We show that any lower bound on $\ech(\ell)$ yields an upper bound on $\rainbow(d)$. Next, we prove that $\ech(\ell) \in Ω(\ell^2/\log n)$ which yields an almost tight upper bound of $\rainbow(d) \in Ω(d \log d)$. This in turn proves the existence of $(1-ε)$-$\efx$ allocation with $O_ε(\sqrt{n \log n})$ number of discarded goods. In addition, for the special case of the Rainbow Cycle problem that the edges in each part form a permutation, we improve the upper bound to $\rainbow(d) \leq 2d-4$. We leverage $\ech(\ell)$ to achieve this bound. Our conjecture is that the exact value of $\ech(\ell) $ is $ \lfloor \frac{\ell^2}{2} \rfloor -1$. We provide some experiments that support this conjecture. Assuming this conjecture is correct, we have $\rainbow(d) \in Θ(d)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
