从函数在仿射线上的限制恢复其仿射线性
Recovering affine-linearity of functions from their restrictions to affine lines
AI总结：
本文研究从函数在仿射线上的限制恢复其全局仿射线性的条件，提出基于一般线和弱乘法B_h-集的定量界，并推广von Staudt结果至非双射情形。
摘要：
受 Tao-Ziegler [Discrete Anal. 2016] 和 Greenfeld-Tao (2022 预印本) 关于在阿贝尔群的子群上拼接仿射线性函数的结果的启发，我们证明了三个关于从函数 $f : V \to W$ 在仿射线上的限制恢复其仿射线性的结果，其中 $V,W$ 是 $\mathbb{F}$-向量空间且 $\dim V \geqslant 2$。首先，如果 $\dim V < |\mathbb{F}|$ 且 $f : V \to \mathbb{F}$ 在平行于基的仿射线和某些通过 $0$ 的“一般”线上的限制是仿射线性的，则 $f$ 在 $V$ 上是仿射线性的。（这推广到所有具有足够大特征的单值交换环 $R$ 上的模 $M$。）其次，我们解释了归功于 von Staudt (1850年代) 的经典结果如何超越双射：如果 $f : V \to W$ 保持仿射线 $\ell$，并且当 $v \not\in \ell$ 时 $f(v) \not\in f(\ell)$，那么这也足以恢复 $V$ 上的仿射线性，但需在域自同构的意义下。特别地，如果 $\mathbb{F}$ 是素域 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p>2$) 或 $\mathbb{Q}$，或完备化 $\mathbb{Q}_p$ 或 $\mathbb{R}$，则 $f$ 在 $V$ 上是仿射线性的。\n 然后，我们通过 Singer [Trans. Amer. Math. Soc. 1938]、Erdos-Turan [J. London Math. Soc. 1941] 和 Bose-Chowla [Comment. Math. Helv. 1962] 最初探索的加法 $B_h$-集的弱乘法变体，定量地改进我们上面的第一个结果。弱乘法 $B_h$-集出现在所有具有足够大特征的环中，以及所有无限或足够大的有限整环/域中。我们证明，如果 $R$ 属于这些环类中的任何一类，且 $M = R^n$ 对于某个 $n \geqslant 3$，那么需要至少 $\binom{n}{\lceil n/2 \rceil}$ 条一般线上的仿射线性才能推断出 $f$ 在 $R^n$ 上的全局仿射线性。此外，这个界是紧的。
英文摘要：
Motivated by recent results of Tao-Ziegler [Discrete Anal. 2016] and Greenfeld-Tao (2022 preprint) on concatenating affine-linear functions along subgroups of an abelian group, we show three results on recovering affine-linearity of functions $f : V \to W$ from their restrictions to affine lines, where $V,W$ are $\mathbb{F}$-vector spaces and $\dim V \geqslant 2$. First, if $\dim V < |\mathbb{F}|$ and $f : V \to \mathbb{F}$ is affine-linear when restricted to affine lines parallel to a basis and to certain "generic" lines through $0$, then $f$ is affine-linear on $V$. (This extends to all modules $M$ over unital commutative rings $R$ with large enough characteristic.) Second, we explain how a classical result attributed to von Staudt (1850s) extends beyond bijections: if $f : V \to W$ preserves affine lines $\ell$, and if $f(v) \not\in f(\ell)$ whenever $v \not\in \ell$, then this also suffices to recover affine-linearity on $V$, but up to a field automorphism. In particular, if $\mathbb{F}$ is a prime field $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p>2$) or $\mathbb{Q}$, or a completion $\mathbb{Q}_p$ or $\mathbb{R}$, then $f$ is affine-linear on $V$. We then quantitatively refine our first result above, via a weak multiplicative variant of the additive $B_h$-sets initially explored by Singer [Trans. Amer. Math. Soc. 1938], Erdos-Turan [J. London Math. Soc. 1941], and Bose-Chowla [Comment. Math. Helv. 1962]. Weak multiplicative $B_h$-sets occur inside all rings with large enough characteristic, and in all infinite or large enough finite integral domains/fields. We show that if $R$ is among any of these classes of rings, and $M = R^n$ for some $n \geqslant 3$, then one requires affine-linearity on at least $\binom{n}{\lceil n/2 \rceil}$-many generic lines to deduce the global affine-linearity of $f$ on $R^n$. Moreover, this bound is sharp.
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