重访Hardy空间与调和权
Hardy spaces meet harmonic weights revisited
AI总结：
本文通过修改原子定义，研究与线性无关调和函数系统相关的自伴算子生成的Hardy空间，并以对称流形为例给出原子分解刻画。
摘要：
我们研究与自伴算子 $L$ 相对应的 Hardy 空间 $H^1_L(X)$。我们的主要目标是以原子分解的方式给出 $H^1_L(X)$ 的描述，类似于经典 Hardy 空间 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 的刻画。在适当假设下，Yan 和作者们在 [Trans. Amer. Math. Soc. 375 (2022), no. 9, 6417-6451] 中已得到这样的描述，其中考虑了与 $L$-调和函数相关联的原子。本文继续这一研究并修改了先前原子的定义。修改后的方法使我们能够研究生成算子与一组线性无关的调和函数相关的情形。在此背景下，原子的消失矩条件被调整以适配该函数组。在一个具体例子中，我们考虑了具有端部 $\mathbb{R}^d \\# \mathbb{R}^d$ 的对称流形。对于该流形，有界调和函数空间是二维的。Hardy 空间 $H^1_L(X)$ 中的任何元素都必须正交于该函数组中的所有调和函数。
英文摘要：
We investigate Hardy spaces $H^1_L(X)$ corresponding to self-adjoint operators $L$. Our main aim is to obtain a description of $H^1_L(X)$ in terms of atomic decompositions similar to such characterisation of the classical Hardy spaces $H^1(\mathbb{R}^d)$. Under suitable assumptions, such a description was obtained by Yan and the authors in [Trans. Amer. Math. Soc. 375 (2022), no. 9, 6417-6451], where the atoms associated with an $L$-harmonic function are considered. Here we continue this study and modify the previous definition of atoms. The modified approach allows us to investigate settings, when the generating operator is related to a system of linearly independent harmonic functions. In this context, the cancellation condition for atoms is adjusted to fit this system. In an explicit example, we consider a symmetric manifold with ends $\mathbb{R}^d \# \mathbb{R}^d$. For this manifold the space of bounded harmonic functions is two-dimensional. Any element from the Hardy space $H^1_L(X)$ has to be orthogonal to all of the harmonic functions in the system.
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