Error analysis of variational integrators of unconstrained Lagrangian systems
Applied Mathematics and Mathematical Physics（应用数学与数理物理）；Department of Mathematics and Statistics（数学与统计系）；University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）
通过放大离散变分原理（在零时间步长处具有奇点），并利用新的过去-未来对称性修复由时间步长除法导致的阶数损失，得到了变分积分器的完整误差分析。
2009-03-05 cs.NA math-ph math.DG
Higher Order Variational Integrators: a polynomial approach
Instituto de Ciencias Matemáticas（西班牙高等科学研究理事会数学科学研究所）
本文提出一种新的变分积分器，即辛Galerkin方案，用于高阶准确地模拟机械系统，同时保持其结构特性，并应用于最优控制问题。
2013-07-23 cs.NA math-ph math.DS
Variational integrators for stochastic Hamiltonian systems on Lie groups: properties and convergence
本文基于离散随机哈密顿相空间原理构造李群上随机哈密顿系统的变分积分器，证明其保辛、保Lie-Poisson结构等性质，并给出旋转群情形的收敛性证明及刚体数值验证。
2024-12-26 cs.NA math.DS math.NA
High-order discrete differential and integral calculus and Galerkin variational integrators
University of Paderborn（帕德博恩大学）；Gdansk University of Technology（格但斯克理工大学）
本文通过离散嵌入形式化策略定义高阶离散微分积分学，并据此构建高阶离散拉格朗日泛函与变分学，从而为Galerkin变分积分器提供新推导。
2026-09-17 math.DS
Variational integrators for underactuated mechanical control systems with symmetries
欠驱动机械系统的最优控制问题可以被看作是一个高阶变分问题，受到高阶约束（也就是说，当拉格朗日函数和约束取决于高阶导数，如加速度，加加速度或颠簸）。本文讨论了当位形空间为平凡主丛时，欠驱动机械控制系统的变分形式，以及这类机械控制系统的变分积分器的构造。一个有趣的家庭几何积分可以定义使用离散化的汉密尔顿原则的关键作用。这类几何积分器称为变分积分器，其主要性质之一是保持几何特征，如辛性，动量保持和能量的良好行为。我们构造了高阶力学系统在平凡主丛上的变分积分器，并将其推广到高阶约束系统，特别关注欠驱动力学系统的特殊情况
2014-10-01 math-ph math.DS math.MP
Variational integrators for stochastic dissipative Hamiltonian systems
推导了随机受迫哈密顿系统保结构模拟的变分积分器。推导是基于一个随机离散哈密顿近似的第二型随机生成函数的随机流的哈密顿系统。通过引入适当的随机作用泛函并考虑确定性拉格朗日-达朗贝尔原理的随机推广，得到了生成函数。我们的方法提出了一种通用的方法来获得新的结构保持数值方案。所得积分满足离散版本的随机拉格朗日-达朗贝尔原理，并在对称性的存在下，他们也满足离散对应的诺特定理。此外，提出了均方和弱拉格朗日-达朗贝尔龙格-库塔法，并进行了数值测试，以证明其优越的长期数值稳定性和能量行为相比，非几何方法。以Vlasov-Fokker-Planck方程为例，提出了一种新的计算碰撞动力学等离子体的几何方法。
2020-02-06 cs.NA math-ph math.DS
Variational Collision Integrators for Nonholonomic Lagrangian Systems
本文提出非完整拉格朗日系统弹性碰撞的离散变分理论，基于拉格朗日-达朗贝尔-庞特里亚金原理推导离散方程，并构建了弹跳椭圆和圆柱内球摆等例子的碰撞积分器。
2025-03-25 math-ph math.DS math.MP
Stochastic Discrete Hamiltonian Variational Integrators
Imperial College London（帝国理工学院）；Max-Planck-Institut für Plasmaphysik（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）
本文提出了一种随机哈密顿系统的结构保持数值方法，通过构造随机离散哈密顿量来近似II型随机生成函数，统一了多种已有积分器并提出新的结构保持数值方案，所得积分器具有辛性、保持李群对称的守恒量，并包含随机辛龙格-库塔方法作为特例。
2018-08-16 cs.NA math-ph math.DS
Variational integrators using forced discrete Hamiltonian systems
Universidad Nacional de Cuyo（门多萨国立大学）；Instituto Balseiro（巴尔塞罗研究所）；Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET)（国家科学研究委员会）；Universidad Nacional de La Plata（拉普拉塔国立大学）；Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata（拉普拉塔国立大学工程学院）；Centro de Matemática de La Plata (CMaLP)（拉普拉塔数学中心）；Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de La Plata（拉普拉塔国立大学理学院）
研究受外力的余切丛上离散哈密顿系统，由离散变分原理确定轨迹。分析辛结构演化等，构建精确离散类似物及近似方法，得到变分积分器，其近似解可达至少r阶精度。
2026-07-07 cs.NA math-ph math.DG
Multisymplectic geometry, variational integrators, and nonlinear PDEs
本文基于多辛几何与变分原理，提出统一框架以构造保持辛性与诺特对称性的连续及离散力学/场论模型，并给出非线性正弦-戈登方程的数值验证。
1998-07-15 cs.NA math-ph math.DG
Geometric integrators for higher-order mechanics on Lie groups
针对一类高阶力学系统，提出了一种保结构的数值积分格式。这些系统的动力学由定义在李群的高阶切丛上的不变变分原理决定。例如，变分原理允许拉格朗日量依赖于加速度。本文将Hamilton-Pontryagin方法中用于发展一阶力学变分积分器的对称约化方法推广到高阶。本文讨论了一般的方法，然后重点讨论了黎曼三次函数的主要例子。高阶变分积分器的离散时间集成的初值问题和一个特定类型的随机规划问题。球面上点之间高阶插值的离散随机规划问题的解决方案说明了这种方法。
2011-12-28 math.DS physics.class-ph
Comparative study of variational chaos indicators and ODEs' numerical integrators
读者可以在文献中找到许多不同的技术来研究给定系统的动力学，也可以找到许多合适的数值积分器来计算它们。尽管最近的工作Minghone et al.（2011 a）映射，在一般系统中的混沌的广泛指标之间的详细比较仍然缺乏。这样的比较可以导致选择最有效的算法给定的某个动力学问题。此外，为了选择合适的数值积分器来计算它们，还需要对数值积分器进行更多的比较研究。这项工作涉及这两个问题。我们首先将Mesthone等人（2011）的工作推广到二维Hénon & Heiles（1964）势的映射，并比较了几种混沌变分指标：李雅普诺夫指标（LI）、邻近轨道平均指数增长因子（MEGNO）、小排列指数（SALI）及其推广的广义排列指数（GALI）;快速李雅普诺夫指标（FLI）及其变体，正交快速李雅普诺夫指标（OFLI），谱距离（D）和拉伸数的动力学谱（SSN）。我们还包括在记录中的相对李雅普诺夫指标（RLI），这是不是一个变分指标的其他。然后，我们测试了一种基于Jorba和Zou（2005）实现的Taylor方法（称为taylor）的常微分方程（ODE）的数值积分技术，并将其性能与其他两种著名的高效积分器进行了比较：Prince和Dormand（1981）实现的7-8阶Runge-Kutta（DOPRI 8）和Bulirsch-Stöer实现。这些测试运行在两个非常不同的系统从他们的方程的复杂性的角度来…
2012-05-08 astro-ph.GA math.DS nlin.CD
Lie Group Forced Variational Integrator Networks for Learning and Control of Robot Systems
University of California San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文提出李群受迫变分积分器网络（LieFVIN），一种保结构深度学习架构，用于学习机器人系统的受控拉格朗日或哈密顿动力学，同时保持李群和辛结构，实现快速预测并支持离散时间最优控制。
2023-05-15 cs.LG cs.RO math.DS
Second-order variational problems on Lie groupoids and optimal control applications
本文从变分和几何的观点研究李群胚上的二阶变分问题和最优控制问题的变分积分器的构造。首先，我们发展了李群胚上二阶变分问题的变分技巧及其在构造力学系统最优控制问题的变分积分器中的应用。接下来，我们将展示如何拉格朗日子流形的辛群胚本质上给出离散动力学的二阶系统，无约束和约束，我们研究的几何性质的隐流定义的动态在拉格朗日子流形。我们还研究了对称约化理论和相应的Noether定理。
2015-06-29 math-ph math.DS math.MP
Error analysis of forced discrete mechanical systems
本文的目的是对受外力作用的力学系统的变分积分器进行误差分析。从本质上讲，我们证明了当离散的接触阶$r$的拉格朗日和力，积分器具有相同的接触阶。我们的分析首先进行离散强制力学系统定义在$TQ$，在这里我们研究的存在性流，离散精确系统的结构和性质和接触的流动（变分积分）的接触秩序方面的原始系统。然后利用这些结果对定义在$Q\times Q$上的类似受迫系统进行了相应的分析。
2021-11-12 cs.NA math-ph math.DG
Continuous and discrete Clebsch variational principles
Clebsch方法提供了一种统一的方法来推导连续和离散动力系统的变分原理，其中向量空间的元素用于控制李群\emph{via}的余切丛上的动力学，即速度映射。本文证明了一个约化定理，即李群上的典型变量可以消去，当且仅当速度映射是李代数作用，从而得到向量空间变量的Euler-Poincaré（EP）方程.在这种情况下，从李群上的典型变量到向量空间的映射是使用菱形算子定义的标准动量映射。我们将Clebsch方法应用于旋转刚体和不可压缩Euler方程的例子中。一路上，我们解释了如何奇异解的EP方程的同胚群（EPDiff）出现的动量映射的Clebsch方法。在有限维李群的情况下，将Clebsch变分原理离散化以产生动力系统的变分积分器。我们得到一个离散映射，从李群的余切丛上的变量可以被消除，以产生一个离散的EP方程的向量空间的元素。作为一个例子，我们给出了一个积分器的旋转刚体。我们还简要地讨论了如何离散无限维Clebsch系统，从而产生保守的数值方法的流体动力学。
2009-04-30 math.DS nlin.SI
