用于 Dirichlet 特征的超几何函数与 $\mathbb{Z}_n$ 上的类 Peisert 图
Hypergeometric functions for Dirichlet characters and Peisert-like graphs on $\mathbb{Z}_n$
AI总结：
本文在 $\mathbb{Z}_n$ 上构造类 Peisert 图，利用特征和计算三角形数，并引入含 Dirichlet 特征的超几何函数刻画四阶团数量。
摘要：
对于素数 $p\equiv 3\pmod 4$ 和正整数 $t$，令 $q=p^{2t}$。阶为 $q$ 的 Peisert 图是以 $\mathbb{F}_q$ 为顶点集的图，其中若 $a-b\in\langle g^4\rangle\cup g\langle g^4\rangle$，则 $ab$ 是一条边，这里 $g$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的本原元。本文中，我们针对适当的 $n$，构造了一个以交换环 $\mathbb{Z}_n$ 为顶点集的类似图，称之为“类 Peisert”图，并记为 $G^\ast(n)$。由于需要 $\mathbb{Z}_n$ 的单位群具有循环性，我们考虑 $n=p^\alpha$ 或 $2p^\alpha$，其中 $p\equiv 1\pmod 4$ 为素数，$\alpha$ 为正整数。对于素数 $p\equiv 1\pmod 8$，我们通过计算某些特征和，求出图 $G^\ast(p^\alpha)$ 中三角形的数量。接着，我们研究 $G^\ast(p^\alpha)$ 中阶为 4 的团。为求 $G^\ast(p^\alpha)$ 中阶为 4 的团的数量，我们首先引入以 Dirichlet 特征为参数的超几何函数，然后用这些超几何函数表示 $G^\ast(p^\alpha)$ 中阶为 4 的团的数量。
英文摘要：
For a prime $p\equiv 3\pmod 4$ and a positive integer $t$, let $q=p^{2t}$. The Peisert graph of order $q$ is the graph with vertex set $\mathbb{F}_q$ such that $ab$ is an edge if $a-b\in\langle g^4\rangle\cup g\langle g^4\rangle$, where $g$ is a primitive element of $\mathbb{F}_q$. In this paper, we construct a similar graph with vertex set as the commutative ring $\mathbb{Z}_n$ for suitable $n$, which we call \textit{Peisert-like} graph and denote by $G^\ast(n)$. Owing to the need for cyclicity of the group of units of $\mathbb{Z}_n$, we consider $n=p^α$ or $2p^α$, where $p\equiv 1\pmod 4$ is a prime and $α$ is a positive integer. For primes $p\equiv 1\pmod 8$, we compute the number of triangles in the graph $G^\ast(p^α)$ by evaluating certain character sums. Next, we study cliques of order 4 in $G^\ast(p^α)$. To find the number of cliques of order $4$ in $G^\ast(p^α)$, we first introduce hypergeometric functions containing Dirichlet characters as arguments, and then express the number of cliques of order $4$ in $G^\ast(p^α)$ in terms of these hypergeometric functions.
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