关于一个 eta-quotient 偶数值个数的探讨
On the number of even values of an eta-quotient
AI总结：
本文为任意 eta-quotient 的 Fourier 系数在任意算术级数上的偶数值个数提供了一般下界，推广了 Serre 关于划分函数的经典定理，并提出一个二次表示问题以期实现无模形式证明。
摘要：
本文旨在为任意 eta-quotient $F$ 的 Fourier 系数在任意算术级数上的偶数值个数提供一个一般的下界。即，若 $g_{a,b}(x)$ 表示 $F$ 在满足 $n\equiv b$ (mod $a$) 且 $n\le x$ 的次数中偶系数的个数，我们证明了当 $x$ 很大时，$g_{a,b}(x) / \sqrt{x}$ 是无界的。注意，即使在划分函数 $p(n)$ 的特殊情况下（即 $\sqrt{x}\log \log x$，由 Bellaïche 和 Nicolas 于 2016 年证明），我们的结果也非常接近目前已知的最佳界。我们的论证实质上依赖于 Serre 关于 $p(n)$ 偶数值个数的经典定理并对其进行了推广，同时结合了 Cotron 等人关于某些 eta-quotients 模 2 缺项性的最新模形式结果。有趣的是，即使在 Serre 最初证明的 $p(n)$ 情况中，该界也尚无初等证明。最后，我们提出了一个关于二次表示的优雅问题，其解最终将给出 Serre 定理的无模形式证明。
英文摘要：
The goal of this note is to provide a general lower bound on the number of even values of the Fourier coefficients of an arbitrary eta-quotient $F$, over any arithmetic progression. Namely, if $g_{a,b}(x)$ denotes the number of even coefficients of $F$ in degrees $n\equiv b$ (mod $a$) such that $n\le x$, then we show that $g_{a,b}(x) / \sqrt{x}$ is unbounded for $x$ large. Note that our result is very close to the best bound currently known even in the special case of the partition function $p(n)$ (namely, $\sqrt{x}\log \log x$, proven by Bellaïche and Nicolas in 2016). Our argument substantially relies upon, and generalizes, Serre's classical theorem on the number of even values of $p(n)$, combined with a recent modular-form result by Cotron \emph{et al.} on the lacunarity modulo 2 of certain eta-quotients. Interestingly, even in the case of $p(n)$ first shown by Serre, no elementary proof is known of this bound. At the end, we propose an elegant problem on quadratic representations, whose solution would finally yield a modular form-free proof of Serre's theorem.
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