关于 Hilbert 空间上紧正规算子的 Krylov 可解性的一个注记
A note on the Krylov solvability of compact normal operators on Hilbert space
AI总结：
本文研究 Hilbert 空间上紧正规算子逆线性问题的 Krylov 可解性，显式刻画其 Krylov 子空间，证明值域内数据对应问题均可解，并建立闭 Krylov 子空间与 $L^2$-测度空间的同构。
摘要：
我们分析了 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上逆线性问题的 Krylov 可解性，其中底层算子是紧的且正规的。Krylov 可解性是逆线性问题的一个重要特征，在理论与应用数值分析中具有深远影响，因为它对于理解基于 Krylov 的方法在求解逆问题时的效用至关重要。我们的结果首次对任意给定数据向量 $g\in\mathcal{H}$ 显式描述了此类算子的 Krylov 子空间，并证明了只要 $g$ 位于此类算子的值域中，所有逆线性问题都是 Krylov 可解的。因此，我们将对 Krylov 可解算子类别的认识扩展到包含正规紧算子。研究最后，我们基于标量谱测度证明了一般有界正规算子的闭 Krylov 子空间与一个 $L^2$-测度空间之间存在同构。
英文摘要：
We analyse the Krylov solvability of inverse linear problems on Hilbert space $\mathcal{H}$ where the underlying operator is compact and normal. Krylov solvability is an important feature of inverse linear problems that has profound implications in theoretical and applied numerical analysis as it is critical to understand the utility of Krylov based methods for solving inverse problems. Our results explicitly describe for the first time the Krylov subspace for such operators given any datum vector $g\in\mathcal{H}$, as well as prove that all inverse linear problems are Krylov solvable provided that $g$ is in the range of such an operator. We therefore expand our knowledge of the class of Krylov solvable operators to include the normal compact operators. We close the study by proving an isomorphism between the closed Krylov subspace for a general bounded normal operator and an $L^2$-measure space based on the scalar spectral measure.
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