无穷小空间上的非交换微分几何
Noncommutative Differential Geometry on Infinitesimal Spaces
AI总结：
本文利用非交换微分几何，通过偏序集上的 $C^*$-代数与有限维谱三元组形式化离散微分演算，并证明格点与环面情形下的收敛性。
摘要：
本文使用非交换微分几何的语言来形式化离散微分演算。我们首先简要回顾偏序集的逆极限，将其作为拓扑空间的一种逼近。随后展示如何在偏序集上关联一个 $C^*$-代数，从而赋予其分段线性结构。此外，我们对偶地说明，流形 $M$ 上的连续函数代数 $C(M)$ 如何可由偏序集上的 $C^*$-代数的正极限逼近。最后，本着非交换微分几何的精神，我们在每个偏序集上定义一个有限维谱三元组。我们展示通常的有限差分离散演算如何作为与 Dirac 算子的交换子的特征值而被恢复。对于 $\mathbb{R}^d$ 中的 $d$ 维格点以及环面 $\mathbb{T}^d$ 的情形，我们证明了一个收敛性结果。
英文摘要：
In this paper, we use the language of noncommutative differential geometry to formalise discrete differential calculus. We begin with a brief review of inverse limit of posets as an approximation of topological spaces. We then show how to associate a $C^*$-algebra over a poset, giving it a piecewise-linear structure. Furthermore, we explain how dually the algebra of continuous function $C(M)$ over a manifold $M$ can be approximated by a direct limit of $C^*$-algebras over posets. Finally, in the spirit of noncommutative differential geometry, we define a finite dimensional spectral triple on each poset. We show how the usual finite difference calculus is recovered as the eigenvalues of the commutator with the Dirac operator. We prove a convergence result in the case of the $d$-lattice in $\mathbb{R}^d$ and for the torus $\mathbb{T}^d$.
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