关于上下文无关语言与正则语言的交集
On the Intersection of Context-Free and Regular Languages
AI总结：
本文针对带有$\varepsilon$-弧的有限状态自动机无法使用经典Bar-Hillel构造计算交集的问题，提出了一种广义构造方法，生成的文法同时编码输入自动机与文法结构，并保持了原始构造的渐近大小。
摘要：
Bar-Hillel构造是形式语言理论中的一个经典结果。它通过一个简单的构造表明，上下文无关语言与正则语言的交集本身也是上下文无关的。在该构造中，正则语言由有限状态自动机指定。然而，无论是原始构造（Bar-Hillel等人，1961）还是其加权扩展（Nederhof和Satta，2003），都无法处理带有$\varepsilon$-弧的有限状态自动机。虽然可以在不修改语言的情况下高效地从有限状态自动机中移除$\varepsilon$-弧，但这样的操作会改变自动机的路径集合。我们给出了一种构造，在期望的自动机具有$\varepsilon$-弧的情况下推广了Bar-Hillel构造，并进一步证明，我们的广义构造产生了一个文法，该文法编码了输入自动机和文法两者的结构，同时保留了原始构造的渐近大小。
英文摘要：
The Bar-Hillel construction is a classic result in formal language theory. It shows, by a simple construction, that the intersection of a context-free language and a regular language is itself context-free. In the construction, the regular language is specified by a finite-state automaton. However, neither the original construction (Bar-Hillel et al., 1961) nor its weighted extension (Nederhof and Satta, 2003) can handle finite-state automata with $\varepsilon$-arcs. While it is possible to remove $\varepsilon$-arcs from a finite-state automaton efficiently without modifying the language, such an operation modifies the automaton's set of paths. We give a construction that generalizes the Bar-Hillel in the case where the desired automaton has $\varepsilon$-arcs, and further prove that our generalized construction leads to a grammar that encodes the structure of both the input automaton and grammar while retaining the asymptotic size of the original construction.
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