弱多孔集与 Muckenhoupt $A_p$ 距离函数
Weakly porous sets and Muckenhoupt $A_p$ distance functions
AI总结：
本文刻画了欧几里得空间中弱多孔集与 Muckenhoupt 距离权函数的关系，给出了精确量化版本，并构造了非弱多孔但权函数属于 $A_p$ 的反例。
摘要：
我们研究了欧几里得空间中的弱多孔集类。作为第一个主要结果，我们证明了距离权函数 $w(x)=\operatorname{dist}(x,E)^{-\alpha}$ 属于 Muckenhoupt 类 $A_1$（对某个 $\alpha>0$）当且仅当 $E\subset\mathbb{R}^n$ 是弱多孔的。我们还给出了该刻画的一个精确量化版本，用所谓的 $E$ 的 Muckenhoupt 指数来表示。当 $E$ 是弱多孔时，对于 $1<p<\infty$，我们也得到了 $w\in A_p$ 的类似量化刻画。在论文末尾，我们给出了一个集合 $E\subset\mathbb{R}$ 的例子，它不是弱多孔的，但对于每个 $0<\alpha<1$ 和 $1<p<\infty$，都有 $w\in A_p\setminus A_1$。
英文摘要：
We examine the class of weakly porous sets in Euclidean spaces. As our first main result we show that the distance weight $w(x)=\operatorname{dist}(x,E)^{-α}$ belongs to the Muckenhoupt class $A_1$, for some $α>0$, if and only if $E\subset\mathbb{R}^n$ is weakly porous. We also give a precise quantitative version of this characterization in terms of the so-called Muckenhoupt exponent of $E$. When $E$ is weakly porous, we obtain a similar quantitative characterization of $w\in A_p$, for $1<p<\infty$, as well. At the end of the paper, we give an example of a set $E\subset\mathbb{R}$ which is not weakly porous but for which $w\in A_p\setminus A_1$ for every $0<α<1$ and $1<p<\infty$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
