展示 Schubert 簇的上同调：极小性猜想的证明
Presenting the cohomology of a Schubert variety: Proof of the minimality conjecture
AI总结：
本文证明了关于 Schubert 簇上同调环简短表示生成元数量的极小性猜想，该猜想给出了最坏情况下的指数下界，证明利用了对称函数环的 Hopf 代数结构。
摘要：
[A. Borel, 1953] 给出了旗流形 $GL_n/B$ 上同调环的极小表示。该表示被 [E. Akyildiz-A. Lascoux-P. Pragacz, 1992] 推广至所有 Schubert 簇的非极小表示。[Gasharov-Reiner, 2002] 的工作为包含光滑 Schubert 簇在内的一类子类给出了简短（即多项式规模）的表示。[V. Reiner-A. Woo-A. Yong, 2011] 发现了一种通用的缩短方法，这蕴含了所需生成元数量具有 $2^n$ 的指数上界。该工作提出了极小性猜想，其意义在于给出最坏情况下所需生成元数量具有 $\sqrt{2}^{n+2}/\sqrt{πn}$ 的指数下界，从而为简短表示提供了首批障碍。我们证明了该极小性猜想。我们的证明使用了对称函数环的 Hopf 代数结构。
英文摘要：
A minimal presentation of the cohomology ring of the flag manifold $GL_n/B$ was given in [A. Borel, 1953]. This presentation was extended by [E. Akyildiz-A. Lascoux-P. Pragacz, 1992] to a non-minimal one for all Schubert varieties. Work of [Gasharov-Reiner, 2002] gave a short, i.e. polynomial-size, presentation for a subclass of Schubert varieties that includes the smooth ones. In [V. Reiner-A. Woo-A. Yong, 2011], a general shortening was found; it implies an exponential upper bound of $2^n$ on the number of generators required. That work states a minimality conjecture whose significance would be an exponential lower bound of $\sqrt{2}^{n+2}/\sqrt{πn}$ on the number of generators needed in worst case, giving the first obstructions to short presentations. We prove the minimality conjecture. Our proof uses the Hopf algebra structure of the ring of symmetric functions.
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