关于圆扇形和球的 Pólya 猜想
On the Pólya conjecture for circular sectors and for balls
AI总结：
本文证明了 Pólya 猜想在任意圆扇形的 Dirichlet 和 Neumann 边界问题以及任意维球的 Dirichlet 问题中成立。
摘要：
1954年，G. Polya 猜想，在有界集 $Ω\subset R^d$ 中 Dirichlet（对应 Neumann）边值问题的 Laplace 算子特征值的计数函数 $N(Ω,Λ)$ 小于（对应大于）$(2π)^{-d} ω_d |Ω| Λ^{d/2}$。这里 $Λ$ 是谱参数，$ω_d$ 是单位球的体积。我们证明了任意圆扇形的 Dirichlet 和 Neumann 边界问题以及任意维球的 Dirichlet 问题的这一猜想。我们大量使用了 \cite{LPS} 中的思想。
英文摘要：
In 1954, G. Polya conjectured that the counting function $N(Ω,Λ)$ of the eigenvalues of the Laplace operator of the Dirichlet (resp. Neumann) boundary value problem in a bounded set $Ω\subset R^d$ is lesser (resp. greater) than $(2π)^{-d} ω_d |Ω| Λ^{d/2}$. Here $Λ$ is the spectral parameter, and $ω_d$ is the volume of the unit ball. We prove this conjecture for both Dirichlet and Neumann boundary problems for any circular sector, and for the Dirichlet problem for a ball of arbitrary dimension. We heavily use the ideas from \cite{LPS}.
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