使用 Kan 扩张扩展资源单调性
Extending Resource Monotones using Kan Extensions
AI总结：
本文推广了资源理论的单调性扩张框架，提出利用（逐点）Kan 扩张和分区范畴（pCat）精确描述并计算单调性扩张，并成功将其应用于纠缠单调性、经典散度和非均匀性单调性向量子理论的扩展。
摘要：
在本文中，我们推广了 Gour 和 Tomamichel 提出的关于资源理论单调性扩张的框架。资源理论的单调性为理论中的每个资源分配一个实数，表示资源的效用或价值。Gour 和 Tomamichel 研究了当资源理论完全且忠实地嵌入到更大理论中时，使用集合论框架扩张单调性的问题。人们可以将计算单调性扩张的问题推广到存在从一个资源理论到另一个资源理论的函子变换，而不仅仅是完全且忠实包含的场景。在本文中，我们证明了（逐点）Kan 扩张提供了一个精确的范畴论框架来描述和计算这种单调性的扩张。为了使用 Kan 扩张建立单调性扩张，我们引入了分区范畴（pCat）作为资源理论的框架，并引入 pCat 函子来形式化资源理论之间的关系。我们将单调性描述为到非负实数预序的 pCat 函子，并描述了使用 Kan 扩张沿任何 pCat 函子扩张单调性。我们通过将其应用于将二分纯态的纠缠单调性扩张到二分混合态，将经典散度扩张到量子设置，以及将非均匀性单调性从经典概率理论扩张到量子理论，展示了我们的框架是如何工作的。
英文摘要：
In this paper we generalize the framework proposed by Gour and Tomamichel regarding extensions of monotones for resource theories. A monotone for a resource theory assigns a real number to each resource in the theory signifying the utility or the value of the resource. Gour and Tomamichel studied the problem of extending monotones using set-theoretical framework when a resource theory embeds fully and faithfully into the larger theory. One can generalize the problem of computing monotone extensions to scenarios when there exists a functorial transformation of one resource theory to another instead of just a full and faithful inclusion. In this article, we show that (point-wise) Kan extensions provide a precise categorical framework to describe and compute such extensions of monotones. To set up monotone extensions using Kan extensions, we introduce partitioned categories (pCat)as a framework for resource theories and pCat functors to formalize relationship between resource theories. We describe monotones as pCat functors into the preorder of non-negative real numbers, and describe extending monotones along any pCat functor using Kan extensions. We show how our framework works by applying it to extend entanglement monotones for bipartite pure states to bipartite mixed states, to extend classical divergences to the quantum setting, and to extend a non-uniformity monotone from classical probabilistic theory to quantum theory.
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