多圆盘中的特异簇与交换压缩算子的膨胀
Distinguished varieties in the polydisc and dilation of commuting contractions
AI总结：
本文通过线性矩阵束的 Taylor 联合谱刻画多圆盘中的特异簇，推广了 Agler-McCarthy 的二维结果，并将其与交换压缩算子组的最小酉膨胀存在性建立等价关系。
摘要：
多圆盘 $\mathbb D^n$ 中的一个特异簇是一个仿射复代数簇，它与 $\mathbb D^n$ 相交，并通过 $n$-环面 $\mathbb T^n$ 离开该区域，而不与 $\mathbb D^n$ 的拓扑边界的任何其他部分相交。我们利用某些线性矩阵束的 Taylor 联合谱，找到了多圆盘 $\mathbb D^n$ 中特异簇的两种不同刻画，从而推广了 Agler 和 M\raise.45ex\hbox{c}Carthy 在 [Acta Math., 2005] 中关于 $\mathbb D^2$ 中特异簇的开创性工作。我们证明 $\mathbb D^n$ 中的一个特异簇是一条仿射代数曲线的一部分，该曲线是一个集合论完全交。我们还证明，如果 $(T_1, \dots , T_n)$ 是 Hilbert 空间上交换压缩算子组，使得 $T=\prod_{i=1}^n T_i$ 的亏空间是有限维的，那么 $(T_1, \dots , T_n)$ 存在一个交换酉膨胀 $(U_1, \dots , U_n)$，其中 $U=\prod_{i=1}^n U_i$ 是 $T$ 的最小酉膨胀，当且仅当与 $(T_1, \dots , T_n)$ 相关联的某些矩阵在 $\mathbb D^n$ 中定义一个特异簇。
英文摘要：
A distinguished variety in the polydisc $\mathbb D^n$ is an affine complex algebraic variety that intersects $\mathbb D^n$ and exits the domain through the $n$-torus $\mathbb T^n$ without intersecting any other part of the topological boundary of $\mathbb D^n$. We find two different characterizations for a distinguished variety in the polydisc $\mathbb D^n$ in terms of the Taylor joint spectrum of certain linear matrix-pencils and thus generalize the seminal work due to Agler and M\raise.45ex\hbox{c}Carthy [Acta Math., 2005] on distinguished varieties in $\mathbb D^2$. We show that a distinguished variety in $\mathbb D^n$ is a part of an affine algebraic curve which is a set-theoretic complete intersection. We also show that if $(T_1, \dots , T_n)$ is commuting tuple of Hilbert space contractions such that the defect space of $T=\prod_{i=1}^n T_i$ is finite dimensional, then $(T_1, \dots , T_n)$ admits a commuting unitary dilation $(U_1, \dots , U_n)$ with $U=\prod_{i=1}^n U_i$ being the minimal unitary dilation of $T$ if and only if some certain matrices associated with $(T_1, \dots , T_n)$ define a distinguished variety in $\mathbb D^n$.
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