由定向曲面上的闭曲线的非平凡同伦类集合生成的自由$\mathbb{Z}$ -模通过两种运算（Goldman括号和Turaev余括号）具有李双代数的结构. M. Chas给出了这两个操作的组合重新定义，通过自然识别的同伦类的闭曲线的表面上的循环字的生成器和他们的逆的基本群的表面。我们提出了一种新的方法，给出了一个组合定义的括号和cobracket，侧重于循环词的分区所提供的信息。
英文摘要：
The free $\mathbb{Z}$-module generated from the set of non-trivial homotopy classes of closed curves on an oriented surface has the structure of Lie bialgebra by two operations, the Goldman bracket and Turaev cobracket. M. Chas gave a combinatorial redefinition of these two operations through a natural identification of the homotopy classes of closed curves on the surface with the cyclic words in the generators and their inverses of the fundamental group of the surface. We present a new approach to give a combinatorial definition of the bracket and cobracket, focusing on the information given by the partitions of cyclic words.
Goldman-Turaev formality from the Knizhnik-Zamolodchikov connection
对于具有$n$边界分支的亏格为$g$的定向二维流形$Σ$，空间$\mathbb{C}π_1(Σ)/[\mathbb{C}π_1(Σ), \mathbb{C}π_1(Σ)]$具有Goldman-Turaev李双代数结构，该双代数结构由曲线的交和自交定义.它的相关分次（在自然过滤下）由$H_1(Σ)$中的循环词描述，并带有项链Schedler李双代数的结构。在亏格为零的情况下，这两种结构之间的同构已在[G. Massuyeau，使用Kontsevich积分的Turaev循环操作的形式描述[A. Alekseev，N. Kawazumi，Y. Kuno和F. Naef，Goldman-Turaev Lie bibalgebra in genus zero and the Kashiwara-Vergne problem]使用Kashiwara-Vergne问题的解。本文给出了$\mathbb{C}$上这一同构的初等证明。它使用$\mathbb{C}\backslash\{ z_1, \dots z_n\}$上的Knizhnik-Zamolodchikov连接。李括号同构的证明是Hitchin经典结果的一个版本。令人惊讶的是，类似的证明也适用于cobrackets。
高盛（发明。85（2）（1986）263）和Turaev（Ann.Sci.诺姆学校辅助核算(4)24（6）（1991）635）在由可定向曲面上的环的非平凡自由同伦类生成的向量空间上发现了李双代数结构。Chas（Combinatorial Lie bialgebras of curves on surfaces，Topology 43（2004）543）在计算机的帮助下，找到了Turaev关于在每个具有负欧拉示性数和正亏格的曲面中，用上括号刻画多个简单类的问题的否定答案。然而，她离开开放Turaev的猜想，即如果，为属零，每一类与cobracket零是一个多个简单的类。本文的目的是对这一猜想给出肯定的回答。
