关于相对化蔡廷$\Omega$的更多结果
Some more results on relativized Chaitin's $Ω$
AI总结：
本研究在集合论框架下探讨相对化蔡廷$\Omega$的性质，证明ZF公理下通用无前缀图灵机对应的相对化$\Omega$非单射且不满足度不变性，还证明ZF+AD下$x$-随机映射在图灵度上锥上不可数对一，解答了描述集合论的相关问题。
摘要：
我们证明，在假设$\mathrm{ZF}$（策梅洛-弗兰克尔集合论）且限定于任意有顶集的情况下，对于任意通用无前缀图灵机$U$，蔡廷的$\Omega_U:x\mapsto Ω_U^x=\sum_{U^x(σ)\downarrow}2^{-|σ|}$都不是单射的，且$\Omega_U^x$在极强的意义上不满足度不变性，这解答了描述集合论中近期的若干问题。此外，我们还证明在$\mathrm{ZF}+\mathrm{AD}$（决定性公理）下，每个将$x$映射为$x$-随机实数的函数$f$在图灵度的上锥上都是不可数对一的。
英文摘要：
We prove that, assuming $\mathrm{ZF}$, and restricted to any pointed set, Chaitin's $Ω_U:x\mapsto Ω_U^x=\sum_{U^x(σ)\downarrow}2^{-|σ|}$ is not injective for any universal prefix-free Turing machine $U$, and that $Ω_U^x$ fails to be degree invariant in a very strong sense, answering several recent questions in descriptive set theory. Moreover, we show that under $\mathrm{ZF}+\mathrm{AD}$, every function $f$ mapping $x$ to $x$-random must be uncountable-to-one over an upper cone of Turing degrees.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
