模素理想的不同距离较少的集合的界
Bounds for sets with few distances distinct modulo a prime ideal
AI总结：
该研究针对代数数域整数环中模素理想的不同平方距离数量受限的欧氏空间点集，推导得到了点集规模的上界公式，丰富了距离几何与数论交叉领域的相关结论。
摘要：
设$\u27e8\fancyscript{O}_K\u27e9$是嵌入$\u27e8\fancyscript{C}\u27e9$的代数数域$K$的整数环。设$X$是欧氏空间$\u27e8\fancyscript{R}^d\u27e9$的一个子集，$D(X)$为$X$中两个不同点的平方距离的集合。本文证明：若$D(X)\u27e8\ub7d2\u27e9\u27e8\fancyscript{O}_K\u27e9$，且存在$\u27e8\fancyscript{O}_K\u27e9$的素理想$\u27e8\frak{p}\u27e9$下互不相同的$s$个值$a_1,\u2026,a_s \u27e8\fancyscript{O}_K\u27e9$，满足每个$a_i$模$\u27e8\frak{p}\u27e9$非零，且$D(X)$的每个元素都与某个$a_i$同余，则$|X| \u27e8\u2264\u27e9 \binom{d+s}{s}+\binom{d+s-1}{s-1}$。
英文摘要：
Let $\mathcal{O}_K$ be the ring of integers of an algebraic number field $K$ embedded into $\mathbb{C}$. Let $X$ be a subset of the Euclidean space $\mathbb{R}^d$, and $D(X)$ be the set of the squared distances of two distinct points in $X$. In this paper, we prove that if $D(X)\subset \mathcal{O}_K$ and there exist $s$ values $a_1,\ldots, a_s \in \mathcal{O}_K$ distinct modulo a prime ideal $\mathfrak{p}$ of $\mathcal{O}_K$ such that each $a_i$ is not zero modulo $\mathfrak{p}$ and each element of $D(X)$ is congruent to some $a_i$, then $|X| \leq \binom{d+s}{s}+\binom{d+s-1}{s-1}$.
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