Some new identities for Schur polynomials
Leonid Bedratyuk
本文提出了关于Schur多项式的新恒等式，扩展了Cauchy恒等式的有界和无界广义形式。
对于Schur多项式的有界和无界广义Cauchy恒等式得到了发现。
For the Schur polynomials bounded and unbounded generalizations of the Cauchy identities are found.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Hopf algebraic approach to Schur function identities
利用对称函数的霍普夫代数的余交换性，证明了某些斜Schur函数是等价的.其中一些斜舒尔函数恒等式是新的。
Some new identities for Schur functions
证明了Schur函数的一些新恒等式。特别是，我们解决了肯定的最近的猜想石川和歌山和解决问题提出的Bressoud。
Simple proofs of Bressoud's and Schur's polynomial versions of the Rogers-Ramanujan identities
我们给出了Rogers-Ramanujan恒等式的Bressoud和Schur多项式形式的简单初等证明
Schur function identities, their t-analogs, and k-Schur irreducibility
我们获得了一般的身份的产品的两个舒尔功能的情况下，其中一个功能是由一个矩形分区索引，并给出他们的t-类似物使用顶点操作。我们研究子空间形成一个过滤的对称函数空间，有助于推广舒尔函数的理论，也提供了一个方便的环境，研究麦克唐纳多项式。我们使用我们的身份证明，顶点运营商离开这样的子空间不变。最后，我们表明，这些运营商的行为只是对k-舒尔功能，从而导致这些功能的概念不可约。
Determinantal identities for flagged Schur and Schubert polynomials
我们证明了一个家庭的标志舒尔多项式新的行列式的身份。作为这些恒等式的推论，我们得到了某些vexillary置换的Schubert多项式的行列式表达式。
Bijective proofs for Schur function identities which imply Dodgson's condensation formula and Plücker relations
我们提出了一个“方法”的双射证明行列式的身份，这是基于翻译决定因素舒尔功能的Jacobi-特鲁迪身份。我们说明了这种“方法”的推广双射建设（这是第一次使用的古尔登）一类舒尔函数的身份，从中我们将获得双射证明道奇森的凝聚公式，Plücker关系和最近的身份的第二作者。
Pfaffian Formulas and Schur Q-Function Identities
我们建立了Cauchy-比内公式和Ishikawa-Wakayama小求和公式的Pfidian类似公式。每一个这些Pfweian类似物表示的产品的subPfweian的两个反对称矩阵在一个单一的Pfweian。利用这些Pfuman公式给出了Schur Q23 pa-函数的几个恒等式的新的透明证明。
Elementary proofs of identities for Schur functions and plane partitions
给出了划分为至多n个部分的Schur函数和的初等证明，其中每个部分小于或等于m，且i）所有部分是偶数，ii）共轭划分的所有部分是偶数.同时，对Ishikawa和Wakayama最近的一个结果给出了初等证明.
Overlap Identities for Littlewood-Schur Functions
我们的结果围绕着一个新的分区操作，我们称之为重叠。我们证明了所谓的Littlewood-Schur函数的两个重叠的身份。Littlewood-Schur函数是Schur函数的推广，其研究是由Littlewood引入的。更具体地，由分区$λ$索引的Littlewood-Schur函数$LS_λ(X; Y)$是变量$X \cup Y$中的多项式，其分别在$X$和$Y$中对称。第一重叠标识将$LS _λ(X; Y)$表示为$X$的子集上的和，而第二重叠标识基本上将$LS_λ(X; Y)$表示为重叠等于$λ$的分区对上的和。这两个恒等式都是通过将拉普拉斯展开式应用于由Moens和Van der Jeugt提出的Littlewood-Schur函数的行列式公式而得到的。此外，我们给出了两个视觉特征的集合的所有对分区的重叠等于一个分区$λ$。
A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities
本文利用Dyson秩的一个新推广的两个对称性，给出了第一个Rogers-Ramanujan恒等式的组合证明。这些对称是由直接双射建立的。
Determinantal and Pfaffian identities for ninth variation skew Schur functions and Q-functions
最近冈田定义代数第九变差斜Q-函数，平行于麦克唐纳的第九变差斜舒尔函数。在这里，我们介绍了一个斜移tableaux定义的这些第九变化斜Q-函数，并证明了通过一个非相交的格子路径模型的Pfwean外分解结果的形式的第九变化版本的哈默尔的Pfwean外分解恒等式。作为推论，我们得出Pfalan的身份推广那些约瑟夫-Pragacz，Nimmo，最近冈田。作为一个序言，我们提出了一个平行的发展基础上（未移位）semistandard tableaux，导致第九个变化版本的外分解行列式身份的哈默尔和Goulden。在这种情况下，我们提供的推论包括行列式的身份推广舒尔和斜舒尔功能的身份雅可比特鲁迪，詹贝利，Lascoux Pragacz，Stembridge，冈田。
Bounded Littlewood identities for cylindric Schur functions
本文提出有界Littlewood恒等式的仿射类似物，给出柱形Schur函数求和的行列式公式，并揭示柱形标准杨表与r-非交叉、s-非嵌套匹配间的新联系。
Schur function identities and the number of perfect matchings of holey Aztec rectangles
我们计算的完美匹配的$M\times N$阿兹特克矩形的$|N-M|$顶点已被删除沿线的数量。一个特殊的案例解决了Propp提出的一个问题。我们的枚举结果遵循一定的身份Schur函数，这是建立在不相交的格路径的组合学。
Comultiplication rules for the double Schur functions and Cauchy identities
双Schur函数构成了环Λ（x）的一个特殊基||a）是对称函数环Λ（x）的多参数推广。将Λ（x）上的正则余乘推广到Λ（x|| a）以自然的方式使得双幂和对称函数是本原元。我们用两种不同的方法计算对偶Littlewood-Richardson系数，从而为对偶Schur函数提供了余乘规则。我们还证明了多参数类似的柯西身份。一族新的Schur型函数在恒等式中起着对偶对象的作用。我们描述了这些对偶Schur函数的一些性质，包括组合表示和普通Schur函数的展开公式。对偶Littlewood-Richardson系数为对偶Schur函数提供了一个乘法法则。
Generalized Sylvester Formulas and skew Giambelli Identities
本文得到了两类复合行列式的西尔维斯特公式及其类似公式的一个共同推广。作为应用，我们将Giambelli恒等式推广到斜Schur函数，将Schur恒等式推广到Schur斜$Q$ -函数.
Bijective proofs for Schur function identities
Gurevich，Pyatov和Saponov最近提出了两个Schur函数乘积的展开式，并给出了基于Pluecker关系的证明。这里我们证明这个恒等式实际上是一个非常一般的Schur函数恒等式的特殊情况，它在Fulmek和Kleber的一篇论文中被陈述和证明，在那里它被用来证明双射Dodgsons凝聚公式和Pluecker关系，但没有得到进一步的关注：因此，我们利用这个机会，通过给出具体的例子，伴随着许多图形说明，使这个恒等式的适用范围变得明显。
Identities for Schur-type determinants and pfaffians
我们给出了一些行列式的一个简单公式，并给出了一个类似的公式，这两个公式都是多项式恒等式。第二类是一些介于行列式和行列式之间的表达式。我们给出了A型和C型差分算子的几个表公式，以及其他出现在“丰富”或“后稳定”舒伯特多项式中的算子。也有丰富的舒伯特多项式的vexillary和$321$ -避免排列的tableau公式。
Factorial supersymmetric skew Schur functions and ninth variation determinantal identities
哈默尔和古尔登的行列式恒等式最近被证明适用于斜舒尔函数的基于表格的第九变分。在这里，我们将这种方法及其结果扩展到类似的基于表的第九次变化的超对称斜Schur函数。这些表格是建立在从一个字母表的非素数和素数，可以在无数不同的方式排序，每一个导致一个行列式的身份。在第九变分的水平上，相应的行列式恒等式都是不同的，但超对称性的原始概念丢失了。它表明，这可以补救的水平，涉及一个双重无穷序列的阶乘参数的第六个变化。此外，它表明，由此产生的阶乘超对称斜Schur函数是独立的顺序的非素和素的项目在字母表。
Interlacing networks: birational RSK, the octahedron recurrence, and Schur function identities
出于对双有理RSK对应满足八面体递归这一事实给出双射证明的问题，我们定义了交织网络，它是具有刚性结构的源和汇的某些平面有向网络。我们描述了一个对合，交换这些网络中的路径，并导致路径权重之间的Plücker样的三项关系。我们表明，这些关系确实遵循从Plücker关系在格拉斯曼连同一些简单的秩性质的矩阵对应于我们的交错网络。服从这些秩性质的矩阵空间形成了完全非负格拉斯曼拟阵分层中的细胞的封闭。RSK的八面体递归不仅直接遵循交织网络的三项关系，而且这些关系还暗示了Schur函数的一些有趣的恒等式，让人想起Fulmek和Kleber所获得的恒等式。这些舒尔函数的身份导致一些结果舒尔积极的形式$s_νs_ρ - s_λs_μ$的表达。
Bilinear identities on Schur symmetric functions
利用Pluecker关系得到了Schur对称函数的一系列双线性恒等式。
Orthosymplectic Cauchy identities
给出了正交辛Schur函数的Cauchy恒等式和对偶Cauchy恒等式的正交辛类似物的双射证明。要做到这一点，我们提出了两个插入算法，这些都是正交辛版本的Berele的辛插入算法，这是用来Sundaram给双射证明柯西身份辛舒尔函数。
A GL-Equivariant Complex Inducing Character Identities for Schur Modules
本文构造了正特征环上Schur模的GL-等变复形，利用它可以导出Schur多项式的经典交错和恒等式。这个复杂的全球化到复杂的向量丛，也可以用来给一个明确的建设的确切序列预测的工作格雷森涉及亚当斯操作的身份代数K理论的一个给定的计划$X$。更一般的复杂性给出了一个明确的建设，重新证明上述亚当斯操作的身份在充分的一般性。
Pfaffian--Toeplitz identities, Schur positivity, and the $q$-log-convexity of Baxter polynomials
该研究利用Pfaffian与Toeplitz相关公式，证明Baxter多项式序列具q-对数凸性，其q-精细Baxter数阵列行与列均为q-对数凹，相关结果可推广至d-Hoggatt数的q-模拟。
Schur function identities arising from the basic representation of $A^{(2)}_{2}$
给出了Schur函数和Schur $Q$ -函数的一些公式的李理论解释.考虑了李代数$A^{(2)}_2$的基本表示的两种实现：一种是在费米子Fock空间上，另一种是在玻色子多项式空间上.通过玻色子-费米子对应，费米子真空期望值的简单关系变成Schur函数的代数关系。
Symmetric Grothendieck polynomials, skew Cauchy identities, and dual filtered Young graphs
对称格罗滕迪克多项式是格拉斯曼K-理论中舒尔多项式的类似物。我们使用Schur算子建立对称Grothendieck多项式的对偶族。用这种方法，我们证明斜柯西恒等式，然后得到各种应用：斜Pieri规则，对偶过滤的杨氏格，生成系列和枚举的身份。对Grothendieck多项式乘积的有限展开性质给出了新的解释。
The Rogers-Ramanujan Identities and Cauchy's Identity
本文利用Schur函数的Cauchy恒等式对Rogers-Ramanujan恒等式进行了研究。
Identities on Factorial Grothendieck Polynomials
古斯塔夫森和米尔恩证明了一个身份的舒尔功能指标的分区的形式$(λ_1-n+k,λ_2-n+k,\ldots,λ_k-n+k)$。另一方面，Fehér、Némethi和Rimányi发现了一个关于Schur函数的恒等式，该函数由$(m-k,\ldots,m-k, λ_1,\ldots,λ_k)$形式的划分索引。Fehér，Némethi和Rimányi给出了他们的身份几何解释，他们提出的问题，找到一个组合证明。本文建立了阶乘Grothendieck多项式的Gustafson-Milne型恒等式和Fehér-Némethi-Rimányi型恒等式.将一个阶乘Grothendieck多项式专门化为一个Schur函数，我们得到了Fehér-Némethi-Rimányi恒等式的一个组合证明.
Revisiting Jacobi-Trudi identities via the BGG category $\mathcal{O}$
本文通过BGG范畴O中的张量积重数重新证明斜Schur多项式的Jacobi-Trudi恒等式，并确立截断展开的Schur正性，同时解释系数为张量积重数。
Expanding K-theoretic Schur Q-functions
该研究推导了K-理论Schur P/Q函数相关恒等式，证明了Lewis等人猜想的Q函数按P函数展开的公式，推广至斜与对偶版本，还证明移位斜Cauchy恒等式，并探讨对偶函数的猜想公式及其基性质推论。
Stretched skew Schur polynomials are recurrent
我们表明，从拉伸半标准的杨tableaux得到的斜舒尔多项式序列满足线性递归，我们明确给出。利用这一点，我们将其应用到寻找这些舒尔多项式的某些渐近行为，并提出了最小递归拉伸舒尔多项式的代数。
Linear relations on LLT polynomials and their k-Schur positivity for k=2
LLT多项式是Schur函数的乘积的$q$ -类似物，其由Grojnowski和Haiman已知为Schur-正的。然而，没有已知的组合公式的系数在舒尔展开。找到这样的公式也提供了麦克唐纳多项式的舒尔正性。另一方面，Haiman和Hugland证明了位于$k$相邻对角线上的斜剖分的LLT多项式是$k$ -Schur正的，比Schur正的强得多.本文通过对单胞LLT多项式的分析，证明了关于$k=2$的猜想.首先给出了$k=2$单胞LLT多项式的线性性定理。通过分析LLT多项式与矩形LLT多项式的已知结果之间的线性关系，给出了单胞LLT多项式以及Haiman-Hugland猜想中的LLT多项式对$k=2$的$2$ -Schur正性.
Pieri's Formula for Generalized Schur Polynomials
杨格，所有杨图的格，具有Robinson-Schensted-Knuth对应，某些矩阵和具有相同形状的半标准杨图对之间的对应。Fomin引入了广义Schur算子来推广Robinson-Schensted-Knuth对应。在这个意义上，广义Schur算子是半标准Young tableaux的推广。我们定义了广义Schur多项式作为广义Schur算子的展开系数。证明了广义Schur算子的等价关系对广义Schur多项式蕴涵Pieri公式。
Some $q$-hypergeometric identities associated with partition theorems of Lebesgue, Schur and Capparelli
本文构造含参数 $L,M$ 的三变量多项式恒等式，统一推广并在极限下导出 Schur 与 Lebesgue 关键恒等式，还给出 Alladi–Schur 精细化及连通 Euler、Lebesgue、Capparelli 定理的新无限层级。
An iterative-bijective approach to generalizations of Schur's theorem
我们开始与双射证明舒尔定理由于阿拉迪和戈登和描述如何一个特定的迭代导致一些非常普遍的定理着色分区。这些定理包含了一些重要的结果，包括舒尔定理、Bressoud对Göllnitz定理的推广、Andrews对舒尔定理的两个推广以及Andrews-Olsson恒等式。
The theory of Schur polynomials revisited
从Jacobi-Trudi恒等式出发，利用Young的提升算子，给出了关于Schur多项式和对称函数的几个著名结果的简短而统一的证明。
Schur Polynomials through Lindström Gessel Viennot Lemma
在这篇文章中，我们使用Lindström Gessel Viennot引理给出了一个简短的，组合的，可视化的证明Schur多项式的身份-杨tableaux单项式的和等于行列式的商。作为一个副产品，我们有一个证明范德蒙德行列式没有文字。我们还证明了柯西恒等式。本文讨论了阶乘Schur多项式、对偶Cauchy恒等式以及牛顿插值公式之间的关系。
Kohnert tableaux and a lifting of quasi-Schur functions
引入了多项式环的拟密钥基。证明了该基包含Haglund，Luoto，Mason和van Willigenburg的拟Schur多项式，并证明了拟钥多项式的稳定极限是拟Schur函数，从而将拟对称多项式的拟Schur基提升到全多项式环.我们介绍了组合模型的Kohnert表，并使用该模型来证明，关键多项式扩大积极的准关键多项式，这反过来又扩大积极的基本幻灯片多项式介绍了作者。我们给出了简单的组合公式，这些扩展的Kohnert tableaux方面，提升的并行扩展的舒尔函数拟舒尔函数到基本的拟对称函数。我们进一步利用Kohnert tableaux找到一个关键多项式的基本滑动展开稳定的精确点。
Newton polytopes of dual $k$-Schur polynomials
本文通过递归生成半标准$k$-表的算法，证明以$k$-有界分拆为指标的对偶$k$-Schur多项式与同指标Schur多项式支撑集一致、共享饱和牛顿多面体，进而得到三类多项式的M-凸性。
Ninth variation of classical group characters of type A-D and Littlewood identities
本文推广经典李群特征标与有理Schur函数，用任意多项式序列替代阶乘幂，推导Littlewood型恒等式并获得新的Jacobi–Trudi与Nägelsbach–Kostka恒等式。
Normalized skew Schur polynomials are Lorentzian
该研究证明有限变量下斜对称舒尔多项式的标准化形式为洛伦兹型，通过将其实现为舒伯特多项式特化并结合对偶雅可比-崔奇恒等式，推导出斜对称科斯塔数满足沿根方向的对数凹性不等式。
Row-strict Quasisymmetric Schur Functions, Characterizations of Demazure Atoms, and Permuted Basement Nonsymmetric Macdonald Polynomials
给出了行严格拟对称Schur函数与对称Schur函数乘积关于行严格拟对称Schur函数展开的Littlewood-Richardson型规则。然后，我们讨论一个家庭的多项式称为Demazure原子。我们回顾了这些多项式的已知特征，然后提出了两个新的特征。最后，我们考虑一个家庭的多项式称为置换基地非对称麦克唐纳多项式，这是通过置换的Haglund，海曼，和Loehr的组合公式的非对称麦克唐纳多项式的基地。我们证明了这些置换基底非对称Macdonald多项式是双仿射Hecke代数中一族交换算子的同时本征函数。
A combinatorial Schur expansion of triangle-free horizontal-strip LLT polynomials
近年来，Alexandersson等人证明了水平带LLT多项式$G_λ(x;q)$在某些特殊情况下的Schur函数展开式的组合公式。我们将一个加权图$Π$与$λ$联系起来，用它来表示LLT多项式之间的线性关系。我们应用这个关系来证明一个明确的组合舒尔积极的扩展$G_λ(x;q)$时，$Π$是三角免费的。我们还证明了$q$在LLT多项式中的最大幂是我们图的总边权。
$P$-Schur positive $P$-Grothendieck Polynomials
本文定义弱对称 $P$-Grothendieck 多项式以推广 $P$-Schur 多项式，并引入移位多重集表给出其组合实现，从而类比集值表推广半标准 Young 表的方式。
Expanding the unicellular LLT polynomials of two-headed melting lollipops into ribbon Schurs
本文针对双头融化棒棒糖图，证明其单细胞 LLT 多项式可展开为带状 Schur 函数的简单公式，推广了 Huh、Nam 和 Yoo 对融化棒棒糖图的 Schur 展开结果。
Schur Positivity and the $q$-Log-convexity of the Narayana Polynomials
利用Schur正性和Schur函数的主特化性，证明了Liu和Wang关于Narayana多项式的$q$-对数凸性的一个猜想，并证明了Narayana变换保持对数凸性的第二个猜想.基于Bränd $\mathrm{\acute{e}}$ n公式将$q$-Narayana数表示为Schur函数的特殊化，利用Schur函数乘积的Littlewood-Richardson规则，得到了几个对称函数恒等式，并得到了Narayana多项式的强$q$-对数凸性和$q$-Narayana数的强$q$-对数凸性.
Differential operators on Schur and Schubert polynomials
本文研究后稳定Schubert多项式上的减算子。研究了两个满足Leibniz规则的$-1$次算子$ξ$和$\nabla$.此外，我们表明，所有其他这样的运营商是$ξ$和$\nabla$的线性组合。对于Schur函数的情况，这两个算子完全确定Schur函数的乘积，即，可以仅从$ξ$和$\nabla$定义Littlewood-Richardson系数。这种新的观点舒尔函数给我们一个初步的证明Giambelli身份和雅可比-特鲁迪身份。对于Schubert多项式的情形，我们构造了一类更大的减算子作为$ξ$和$\nabla$的表达式，并用Young图来表示.令人惊讶的是，这些算子与斯坦利对称函数有关。特别地，我们将玻色子算子从Schur推广到Schubert多项式。
Frobenius's last proof
大约在1917年，伊赛·舒尔重新发现了罗杰斯-拉马努金恒等式，并证明了一个包含它们的多项式恒等式系统。舒尔写道，格奥尔格·弗罗贝纽斯（Georg Frobenius）（他以前的顾问）向他展示了这些多项式恒等式的一个简单、直接的证明。舒尔不认为适合透露弗罗贝纽斯的证明，更喜欢他自己的，而复杂的证明。但是很容易猜出这个“简单、直接”的证明是什么。由于弗罗贝纽斯死于1917年，我们可以称之为“弗罗贝纽斯的最后证明”。
Toward the Schur expansion of Macdonald polynomials
我们给出了一个显式的组合公式的Schur展开的Macdonald多项式的分区指标，第二部分至多两个。这给出了钩形和两列划分的统一公式。证明来作为一个推论的结果，广义对偶等价类的排列是工会的标准对偶等价类的排列在某些情况下，建立一个较早的猜想的作者。
A Generalization of Schur's $P$- and $Q$-Functions
我们引入并研究了Schur的$P$ -/ $Q$ -函数的一个推广，它可以被看作是$P$ -/ $Q$ -函数的“麦克唐纳第九变分”。这种变化包括作为特殊情况舒尔的$P$ -/ $Q$ -功能，伊万诺夫的阶乘$P$ -/ $Q$ -功能和$t=-1$专门化霍尔-Littlewood功能与经典的根系。我们建立了Schur的$Q$ -函数的Schur原定义的推广，Cauchy型恒等式，斜$Q$ -函数的Józefiak-Pragacz-Nimmo公式和Pieri型乘法规则等恒等式和性质.
Polynomial bases: positivity and Schur multiplication
建立了由正展开式定义的多元多项式的组合基上的偏序集结构，并研究了该偏序集中基的共同性质。包括舒伯特多项式，Demazure字符和Demazure原子的研究基础; Assaf和作者在2017年引入的准密钥，基本和单项式滑动基;以及我们引入的新基础，完成了这个偏序集结构。我们表明产品的舒尔多项式和一个元素的基础在这个偏序集积极扩展的基础上，特别是，我们给的第一个Littlewood-Richardson规则的产品舒尔多项式和准关键多项式。该规则同时扩展了Haglund，Luoto，Mason和van Willigenburg（2011）的Littlewood-Richardson规则用于拟Schur多项式，并改进了他们的Littlewood-Richardson规则用于Demazure特征。我们还建立了双射连接这些多项式的组合模型，包括半天际线填充和准关键tableaux。
Schur positivity of difference of products of derived Schur polynomials
本研究提出导出Schur多项式的平方与相邻阶乘积之差的Schur正性猜想，并在i=1时针对矩形、钩子等几类分拆λ证明了该猜想成立。
Boolean product polynomials, Schur positivity, and Chern plethysm
令$1\leq k \leq n$和$X_n = (x_1, \dots, x_n)$是$n$变量的列表。{ \em布尔积多项式} $B_{n,k}(X_n)$是线性形式$\sum_{i \in S} x_i$的乘积，其中$S$的范围覆盖$\{1, 2, \dots, n\}$的所有$k$元素子集。证明了布尔积多项式是Schur正的.我们这样做，通过一个新的方法证明舒尔积极使用向量束和对称函数操作，我们称之为{ \em陈plethysm}。这给出了一个几何方法，用于产生大量的舒尔正多项式，其舒尔正性缺乏（目前）组合或表示理论的证明。我们涉及的多项式$B_{n,k}(X_n)$某些$k$其他组合对象，包括乱序，positroids，交替符号矩阵，和反向标记填充的分区形状。我们还将$B_{n,n-1}(X_n)$与对称群$\mathfrak{S}_n$在超空间的无散度商上的双阶作用联系起来。
Combinatorial relations on skew Schur and skew stable Grothendieck polynomials
我们给出了斜Young图的稳定Grothendieck多项式的斜Schur函数的组合展开式，使用一种新的行插入算法的集值半标准tableaux的斜形状。这种展开统一了以前的一些结果：它推广了早期与López Martín和Teixidor i Bigas关于Brill-Noether曲线的联合工作中获得的组合公式，并将Lenart的2000公式和Reiner-Tenner-Yong的最近结果推广到斜形状。我们也给出了一个扩展在另一个方向：表示斜Schur函数的斜Grothendieck多项式。
Schur positivity of the nabla operator on two-column modified Hall--Littlewood polynomials
本文研究了在nabla算子作用下，由两列划分索引的修正Hall-Littlewood多项式的Schur正性，解决了Bergeron等人提出的两个猜想，并证明这些结果可以推广到任意次幂nabla^k。
Boolean product polynomials and Schur-positivity
我们研究一族对称多项式，我们称之为布尔积多项式。研究这些多项式的动机源于计算由$\mathbb{R}^n$中的非零向量构成的实拟阵的特征多项式，所有这些拟阵的坐标都是$0$或$1$。为此，一种方法是计算有限域上的布尔积多项式的零点。这些多项式的零轨迹切出超平面排列，称为共振排列，这在双赫维茨多项式的上下文中出现。通过将布尔积多项式与向量丛的某些全陈类联系起来，我们利用Pragacz的一个结果建立了它们的Schur-正性，该结果依赖于Fulton-Lazarsfeld关于数值正性的早期工作。随后，我们从Schur正性的角度研究了这些多项式的两个字母版本。作为这些多项式的一个特殊情况下，我们恢复对称函数首先研究Désarménien和瓦克斯的上下文中的descents在无序。
A combinatorial proof that Schubert vs. Schur coefficients are nonnegative
给出了舒伯特多项式与舒尔多项式的乘积是舒伯特多项式的非负和的组合证明。我们的证明使用阿萨夫的对偶等价理论表明，拟对称函数的Bergeron和Sottile是舒尔积极的。通过布赫和米哈尔恰的几何比较定理，这意味着格拉斯曼的Gromov-Witten不变量的非负性。
On the Schur expansion of Hall-Littlewood and related polynomials via Yamanouchi words
本文利用对偶等价图理论给出了几类对称函数的显式Schur展开式。我们首先给出修改后的麦克唐纳多项式和修改后的霍尔-利特尔伍德多项式的组合定义，这些多项式由任何图$δ\subset {\mathbb Z} \times {\mathbb Z}$索引，分别写为$\widetilde H_δ(X;q,t)$和$\widetilde H_δ(X;0,t)$。然后，我们给出了一个明确的舒尔展开$\widetilde H_δ(X;0,t)$作为一个子集的Yamanouchi字的总和，而不是扩展使用的收费统计在1978年由Lascoux和Schüztenberger。我们进一步定义对称函数$R_{γ,δ}(X)$作为$\widetilde H_δ(X;0,t)$的一个改进，并类似地描述其Schur展开。然后，我们分析$R_{γ,δ}(X)$，以确定其舒尔展开的首项。我们还对$\widetilde H_δ(X;q,t)$的Schur展开提出了一个猜想.为了获得这些结果，我们使用Sami Assaf在2007年工作中的一个构造，将每个Macdonald多项式与一个带符号的有色图$\mathcal{H}_δ$相关联。当$\mathcal{H}_δ$的子图是一个对偶等价图时，我们给出了其相关对称函数的Schur展开式，得到了几个推论.
What is Schur positivity and how common is it?
这是一个关于舒尔积极性的简短说明。我们介绍舒尔多项式，并解释他们如何出现在一般线性群的表示论。最后给出作者在F. Bergeron和V.Reiner给出了具有正系数的齐次对称多项式是Schur正的概率。
On the Schur expansion of Jack polynomials
给出了Jack对称函数在由二项式系数给出的两个基上的Schur展开式的正性证明。部分结果表明，有丰富的组合数学被发现在这些基地，包括欧拉数，斯特林数，准山之内tableaux，和车板。这些结果也导致进一步的programmures这些基地，我们证明了特殊情况下的基本拟对称展开。
Melting lollipop chromatic quasisymmetric functions and Schur expansion of unicellular LLT polynomials
本文推广并利用了Lee \cite{Lee}提出的LLT多项式的线性关系。利用色拟对称函数和单胞LLT多项式通过体积代换相关，因此它们满足相同的线性关系的事实，我们可以将线性关系应用于这两组函数。结果，在色拟对称函数方面，我们发现了一类$e$ -正图，称为\emph{melting lollipop graphs}，并明确地证明了$e$ -单峰性.在单胞LLT方面，我们得到了对应于某些图集的LLT多项式的Schur展开式，这些图集包括：完全图、路图、棒棒糖图和融化棒棒糖图。
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