关于 Kostant 凸性定理的几何视角
A geometric take on Kostant's Convexity Theorem
AI总结：
本文针对紧 Lie 群的正交表示，提出了轨道空间闭子集具有凸原像的纯度量准则，引入“fat section”概念推广多种表示与叶状结构，并证明 Kostant 凸性定理可部分推广至具有 fat section 的 submetries。
摘要：
给定紧 Lie 群 $G$ 和正交 $G$-表示 $V$，我们给出了轨道空间 $V/G$ 的闭子集在 $V$ 中具有凸原像的纯度量准则。事实上，将自然商映射 $V\ o V/G$ 替换为任意 submetry $V\ o X$ 时，该结论依然成立。在此背景下，我们引入了“fat section”的概念，它推广了 polar representations、非平凡 copolarity 的表示以及 isoparametric foliations。我们证明了 Kostant 凸性定理可以从 polar representations 部分推广到具有 fat section 的 submetries，并给出了说明其无法完全推广到该情形的实例。
英文摘要：
Given a compact Lie group $G$ and an orthogonal $G$-representation $V$, we give a purely metric criterion for a closed subset of the orbit space $V/G$ to have convex pre-image in $V$. In fact, this also holds with the natural quotient map $V\to V/G$ replaced with an arbitrary submetry $V\to X$. In this context, we introduce a notion of "fat section" which generalizes polar representations, representations of non-trivial copolarity, and isoparametric foliations. We show that Kostant's Convexity Theorem partially generalizes from polar representations to submetries with a fat section, and give examples illustrating that it does not fully generalize to this situation.
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