Strongly nonlinear Robin problems for harmonic and polyharmonic functions in the half-space
本文研究半空间中调和与多调和函数的强非线性Robin问题，在Orlicz型增长下证明解的存在性与全局正则性，并借助调和分析算子的新有界性结果。关键贡献在于建立尖锐的Orlicz空间有界性，从而解决非线性边界条件带来的困难。
2024-07-16 math.AP
Existence and stability properties of entire solutions to the polyharmonic equation $(-Δ)^m u=e^u$ for any $m\ge 1$
研究了一类具有指数非线性项的多重调和方程整体解的存在性和稳定性。我们研究了径向整体解的存在性，并给出了它们在无穷远处的渐近估计。作为第一个结果的稳定性，我们证明了稳定的解决方案（不一定是径向）的尺寸低于共形的从来不存在。另一方面，我们证明了在紧致外稳定的径向整体解在高维和低维都存在。为了证明解在紧集外的稳定性，我们在低维情形下证明了一些新的Hardy-Rellich型不等式。
2014-03-04 math.AP
Polyharmonic homogenization, rough polyharmonic splines and sparse super-localization
California Institute of Technology（加州理工学院）；Shanghai Jiaotong University（上海交通大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
提出一种新的变分方法，用于具有任意粗糙系数的散度型椭圆、抛物和双曲方程的数值均匀化，通过最小化源项的L2范数生成插值基函数，并利用超局部化子域上的二次问题实现稀疏计算。
2013-06-12 cs.NA math.AP math.NA
Exhaustive existence and non-existence results for some prototype polyharmonic equations in the whole space
在本文中，我们感兴趣的整体，非平凡，非负解和/或整体，正解的最简单的模型与功率型非线性\[ Δ^m u = \pm u^α \quad \text{ in } \mathbb R^n \]与$n \geqslant 1$，$m \geqslant 1$，和$α\in \mathbb R$的多重调和方程。我们的目的是研究上述方程在常数$n$，$m$和$α$的整个范围内经典解的存在性和不存在性.值得注意的是，我们能够提供的充要条件的指数$α$，以保证存在这样的解决方案在$\mathbb R^n$。最后，我们确定所有的情况下，任何整个非平凡的，非负的经典解决方案必须是积极的。
2019-11-06 math.AP
The Green's function of polyharmonic operators with diverging coefficients: Construction and sharp asymptotics
该研究针对闭黎曼流形上带大正参数α的多调和算子(Δ_g + α)^k，证明了其格林函数的存在唯一性与正性，得到显式依赖α的逐点估计，并发现大α下远离对角线区域的指数衰减特性。
2024-12-11 math.AP
Liouville theorems for the polyharmonic Henon-Lane-Emden system
研究了当$m,p,q \ge 1,$ $pq\neq1$，$a,b\ge0$满足一定条件时，下列多调和Hénon-Lane-Emden系统\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lcl} (-Δ)^m u&=& |x|^{a}v^p \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^n,\\ (-Δ)^m v&=& |x|^{b}u^q \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^n, \end{array}\right. \end{eqnarray*}的Liouville定理.主要的猜想是：当$(p,q)$是{ \it under}临界Sobolev双曲线时，即$ \frac{n+a}{p+1}+\frac{n+b}{q+1}>{n-2m}$，$(u,v)=(0,0)$是该系统的唯一非负解.我们表明，这确实是在尺寸$n=2m+1$有界的解决方案的情况下。特别地，当$a=b$和$p=q$时，这意味着如果$p$是次临界Sobolev指数，则$u=0$是多调和Hénon方程\begin{equation*} (-Δ)^m u= |x|^{a}u^p \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^{n} \end{equation*}在维度$n=2m+1$中的唯一非负有界解，即，$1<p<{1+4m+2a}$。此外，我们表…
2013-08-01 math.AP
Classification of solutions to several semi-linear polyharmonic equations and fractional equations
研究了一类带积分约束的半线性多调和方程\begin{align} \left\{\begin{array}{rl} &(-Δ)^pu=u^γ_+ ~~ \mbox{ in }{\mathbb{R}^n},\\ \nonumber &\int_{\mathbb{R}^n}u_+^γdx<+\infty, \end{array}\right. \end{align}，其中$n>2p$，$p\geq2$和$p\in\mathbb{Z}$ .我们得到了$γ\in(1,\frac{n}{n-2p})$的任意在无穷远处满足一定增长性的非常数解关于$\mathbb{R}^{n}$中的某点径向对称且沿径向单调递减.在$p=2$的情况下，对于更一般的指数$γ\in(1,\frac{n+4}{n-4})$建立了相同的结果。对于以下带积分约束的分数阶方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rl} &(-Δ)^sv=v^γ_+ ~~ \mbox{ in }{\mathbb{R}^n},~~~~\\ &\int_{\mathbb{R}^n}v_+^{\frac{n(γ-1)}{2s}}dx<+\infty,~~~~~ \end{array}\right. \end{equation*}其中$s\in(0,1)$，$γ\in (1, \frac{n+2s}{n-2s}…
2022-08-05 math.AP
Schrödinger and polyharmonic operators on infinite graphs: Parabolic well-posedness and p-independence of spectra
研究了由薛定谔算子$-Δ+V$或多重调和算子$-(-Δ)^m$生成的半群在$L^p$ -空间和连续函数空间上的度量图上的性质.在空间恒定的潜力的情况下，我们提供了一个半显式的公式，其内核。在图上附加的次指数增长性条件下，我们证明了这些半群的解析性、超压缩性和点态核估计;我们还表明，它们的生成元谱在所有相关函数空间上都是一致的，并呈现Kre \u ın型降维，表明它们的谱值是由广义离散拉普拉斯算子作用于各种支持的函数空间的谱决定的。组合图
2020-03-26 math-ph math.AP math.MP
A priori bounds for energy-bounded solutions of critical polyharmonic equations
Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
研究具有Dirichlet边界条件的临界多调和方程，在较大维数下，通过渐近分析技术建立了能量有界解的一致先验界，并给出了爆破解的全局逐点描述。
2026-09-02 math.AP
GJMS-type Operators on a compact Riemannian manifold: Best constants and Coron-type solutions
本文研究了黎曼流形$M$上多调和算子的一类含临界Sobolev指数的非线性椭圆问题解的存在性.我们首先表明，最好的常数的Sobolev嵌入流形上可以选择接近一个想要的欧几里德，并作为一个结果推导出存在的极小时，能量泛函低于量化阈值。其次，在极小化解不存在的条件下，利用Coron的拓扑方法得到了更高能量的解。要执行这个拓扑参数，我们克服了困难，处理多调和算子的黎曼流形和适应狮子的浓度紧引理。与科伦在$\mathbb{R}^{n}$中对有界域的原始论证不同，我们需要做的不仅仅是从流形$M$中切出一个小球。实际上，我们的拓扑假设是$M$上的一个以点$p \in M$为中心的小球不会收缩到$M\backslash \{ p \}$中的一个点，这是必要的，就像在典范球的情况下切出一个小球是不够的一样。
2016-08-10 math.AP
The minimizing problem involving p--Laplacian and Hardy--Littlewood--Sobolev upper critical exponent
本文研究极小化问题：$$ S_{p,1,α,μ}:= \inf_{u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{N})\setminus\{0\}} \frac{ \int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla u|^{p}\mathrm{d}x - μ\int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|u|^{p}}{|x|^{p}} \mathrm{d}x} {\left( \int_{\mathbb{R}^{N}} \int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|u(x)|^{p^{*}_α}|u(y)|^{p^{*}_α}}{|x-y|^α} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \right)^{\frac{p}{2\cdot p^{*}_α}}}, $$其中$N\geqslant3$，$p\in(1,N)$，$μ\in \left[ 0, \left( \frac{N-p}{p} \right)^{p} \right)$，$α\in(0,N)$和$p^{*}_α= \frac{p}{2}\left(\frac{2N-α}{N-p}\right)$是Hardy-Littlewood-Sobolev上临界指数.首先，利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的加细，证明了在$\mathbb{R}^{N}$中，$S_{p…
2018-05-28 math.AP
Homotopy regularization for a high-order parabolic equation
本文研究一类拟线性退化高阶抛物型方程\begin{equation*} \left\{ \begin{tabular}{lcl} $u_t=(-1)^{m-1}\nabla\cdot(f^n(|u|)\nablaΔ^{m-1}u)$ & &in $\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}_+$, $u(x,0)=u_0(x)$& & in $\mathbb{R}^N$, \end{tabular} \right. \end{equation*}的Cauchy问题的可解性，其中$m\in\mathbb{N},\ m>1$和$n>0$是固定指数.此外，$f$是一个连续单调递增的有界函数，其初始值$u_0(x)$是有界光滑的，且具有$f(0)=0$.因此，通过一个同伦参数的基础上的分析$\varepsilon$ -正则化的退化项$f^n(|u|)$，我们能够提取信息的解决方案继承的多调和方程时，$n=0$。
2019-03-22 math.AP
Stable and Minimizing Cones in the Alt-Phillips Problem
本研究证明在 Alt-Phillips 问题中，当指数接近 1 时，径向锥为极小锥，并构造了轴对称全局极小锥，其兼具端点情况的性质。
2025-02-25 math.AP
On a Biharmonic Equation Involving Nearly Critical Exponent
研究了一类具有近临界指数的Navier边界条件下的双调和方程。研究了Sobolev方程的解的渐近性态。我们发现，这样的解决方案集中在一个内点，这是一个临界点的罗宾的功能。相反，我们表明，对于任何非退化的临界点的罗宾的功能，存在的解决方案集中在这样一个点。最后，我们证明了，与亚临界方程中发生的情况相反，超临界问题没有集中在一个点周围的解。
2004-01-07 math.AP
A system with weights and with critical Sobolev exponent
本文研究极小化问题：$$ \inf_{ \displaystyle{\begin{array}{lll} u \in H_0^1(Ω), v \in H_0^1(Ω),\\ \quad \| u \|_{L^{q}} =1, \quad \| v \|_{L^{q}} = 1 \end{array}}} \left[ \frac{1}{2} \int_Ω a(x) \vert \nabla u(x) \vert^2dx + \displaystyle{ \frac{1}{2} \int_Ω b(x) \vert \nabla v (x)\vert^2dx } - λ\displaystyle{\int_Ω u(x)v (x)dx} \right] $$其中$q=\frac{2N}{N-2}$，$ N \geq 4$，$a$和$b$是两个连续的正权函数.在一定条件下，证明了在$a$，$b$，空间维数和参数$λ$上，上述极小化问题解的存在性.
2023-03-06 math.AP
Blowup analysis for integral equations on bounded domains
考虑积分方程\begin{equation*} f^{q-1}(x)=\int_Ω\frac{f(y)}{|x-y|^{n-α}}dy,\ \ f(x)>0,\quad x\in \overline Ω, \end{equation*}，其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$是光滑有界区域。在\cite{DZ2017}中证明了$1<α<n$在次临界情况下能量极大正解的存在性$2<q<\frac{2n}{n+α}$，在临界情况下能量极大正解的不存在性$q=\frac{2n}{n+α}$.对于$α>n$，在\cite{DGZ2017}中也证明了次临界情形$0<q<\frac{2n}{n+α}$下能量极小正解的存在性和临界情形$q=\frac{2n}{n+α}$下能量极小正解的不存在性.在此基础上，本文分析了能量极大正解$q\to (\frac{2n}{n+α})^+ $（在$1<α<n$情形下）和能量极小正解$q\to (\frac{2n}{n+α})^-$（在$α>n$情形下）的爆破行为.我们看到，$1<α<n$的爆破行为得到的是非常类似的椭圆方程，涉及亚临界Sobolev指数。但对于$α>n$，出现了不同的现象。
2018-08-28 math.AP
On the energy-minimizing steady states of a thin film equation
在周期域$Ω= (-π,π)$上考虑薄膜方程$u_t+[u^3 (u_xxx + α^2 u_x -\sin(x) )]_x=0$的稳态。该方程定义了控制$H^1$ -范数的能量泛函的广义梯度流。主要结果表明，对于每个给定的质量，存在唯一的最小能量的非负函数。这个极小化器是关于$x=0$对称递减的。对于$α<1$，存在一个质量的临界值，在该值处，极小化器具有触地零点。如果质量超过这个值，则极小值是严格正的。否则，它被支撑在域的适当子区间上，并且在零接触角处与干燥区域相遇。第二个结果探讨了严格的积极性和指数收敛的稳定状态之间的关系。它表明，积极的极小是局部指数吸引力，而从一个稳定的状态与干燥的区域的距离不能比幂律衰减得更快。
2010-09-21 math-ph math.AP math.MP
Concentration of cones in the Alt-Phillips problem
Columbia University（哥伦比亚大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
研究当指数γ接近1时Alt-Phillips问题中最小锥体的行为，显示当γ趋近于1时，锥体集中于经典障碍问题的对称解周围，极限轮廓在子空间内径向对称且在垂直于该子空间的方向上不变。
2026-05-09 math.AP
Flat solutions of some non-Lipschitz autonomous semilinear equations may be stable for $N\geq 3$
我们证明了一类具有非Lipschitz函数强吸收项的半线性自治椭圆型方程狄利克雷问题的平坦基态解（$i.e.$使能量最小且在区域边界上梯度为零）对于$N=1,2$维数是不稳定的，对于$N\geq 3$维数是稳定的.
2016-11-11 math.AP
Entire nodal solutions to the critical Lane-Emden system
我们建立了Lane-Emden方程组$$-Δu=|v|^{q-2}v,\quad -Δv=|u|^{p-2}u \quad \text{ in }\mathbb{R}^N, \ \ N\geq 4,$$的多个变号解的存在性，其中$p$和$q$位于临界双曲线$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{N-2}{N}$上.这些解决方案是非径向的，并出现在一个有界域中的一个关键的高阶问题的对称变号最小化序列的极限配置文件。
2019-09-06 math.AP
Simultaneous inversion for the fractional exponents in the space-time fractional diffusion equation $\partial_t^βu= -\big(-Δ\big)^{α/2}u-\big(-Δ\big)^{γ/2}u$
在这篇文章中，我们考虑时空分数描述所谓的“双尺度”反常扩散$$\partial_t^βu(t, x) = -(-Δ)^{α/2}u(t,x) - (-Δ)^{γ/2}u(t,x) \ \ t> 0, \ -1<x<1, $$的（非局部）方程其中$\partial_t^β$是$β\in (0,1)$和$0<α\leq γ<2.$阶的Caputo分数阶导数我们考虑一个非局部反问题并证明了分数阶指数$β$，$α$和$γ$由数据$u(t, 0) = g(t), \ 0 < t \leq T.$唯一确定。该方法基于最小化输出数据和附加数据之间的误差函数。在这种情况下，输入-输出映射被定义并建立其连续性。利用正问题解的特征函数展开式和分数阶拉普拉斯算子的一些基本性质，证明了反问题解的唯一性。基于最小化问题的离散化，即最速下降法和最小二乘法的数值方法，提出了反问题的解决方案。数值方法同时确定分数指数。最后，无噪声和噪声数据的数值例子说明了所提出的方法的适用性和高精度。
2019-12-17 math.AP
