蝴蝶结空间上的庞加莱不等式与 $A_p$ 权
Poincaré inequalities and $A_p$ weights on bow-ties
AI总结：
本文研究蝴蝶结型度量空间上庞加莱不等式成立的条件，证明其等价于拟凸性、两侧子空间上的庞加莱不等式及一个由测度衰减刻画的容量条件，并针对径向倍增权情形给出多种刻画和环形容量的通用公式。
摘要：
一个度量空间 $X$ 被称为“蝴蝶结”，如果它可以写成 $X=X_{+} \cup X_{-}$，其中 $X_{+} \cap X_{-}=\{x_0\}$，且 $X_{\pm} \ne \{x_0\}$ 是 $X$ 的闭子集。我们证明：$X$ 上的倍增测度 $μ$ 支撑一个 $(q,p)$-庞加莱不等式，当且仅当 $X$ 满足一个拟凸型条件，$μ$ 在 $X_{+}$ 和 $X_{-}$ 上都支撑 $(q,p)$-庞加莱不等式，并且一个变分 \p-容量条件成立。该容量条件又由 $x_0$ 处的一个尖锐测度衰减条件所刻画。特别地，我们研究了由 $\mathbf{R}^n$ 中正、负超象限组成的蝴蝶结 $X_{\mathbf{R}^n}$，其上配备径向倍增权，并用多种方式刻画了 $X_{\mathbf{R}^n}$ 上 \p-庞加莱不等式成立的条件。对于这类权，我们还给出了原点周围环形容量的一个一般公式。
英文摘要：
A metric space $X$ is called a \emph{bow-tie} if it can be written as $X=X_{+} \cup X_{-}$, where $X_{+} \cap X_{-}=\{x_0\}$ and $X_{\pm} \ne \{x_0\}$ are closed subsets of $X$. We show that a doubling measure $μ$ on $X$ supports a $(q,p)$--Poincaré inequality on $X$ if and only if $X$ satisfies a quasiconvexity-type condition, $μ$ supports a $(q,p)$-Poincaré inequality on both $X_{+}$ and $X_{-}$, and a variational \p-capacity condition holds. This capacity condition is in turn characterized by a sharp measure decay condition at $x_0$. In particular, we study the bow-tie $X_{\mathbf{R}^n}$ consisting of the positive and negative hyperquadrants in $\mathbf{R}^n$ equipped with a radial doubling weight and characterize the validity of the \p-Poincaré inequality on $X_{\mathbf{R}^n}$ in several ways. For such weights, we also give a general formula for the capacity of annuli around the origin.
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