格拉斯曼框架的核心
The core of a Grassmannian frame
摘要：
令$X=\{x_i\}_{i=1}^m$是$\RR^n$中的单位向量的集合。$X$的相干性是$\coh(X):=\max_{i\not=j}|\langle x_i, x_j\rangle|$。如果没有任意接近$x$的单位向量$x'$使得对于$X$中的所有其他向量$y$，$|\langle x', y\rangle|<\coh(X)$，则称向量$x\in X$是可隔离的。我们定义了一个格拉斯曼框架$X=\{x_i\}_{i=1}^m$的{ \bf core}在$\RR^n$中的角度为$α$，作为$X$的最大子集，它具有相干性$α$，并且没有孤立向量。换句话说，如果$Y$是$X$、$\coh(Y)=α$的子集，并且$Y$没有可分离的向量，则$Y$是核心的子集。我们将证明$\RR^n$的每个$m>n$向量的格拉斯曼框架都具有这样的性质，即核心中的每个向量与核心的一个生成族形成角$α$。因此，核心由$\ge n+1$载体组成。然后我们发展了格拉斯曼框架和核心的其他性质。
英文摘要：
Let $X=\{x_i\}_{i=1}^m$ be a set of unit vectors in $\RR^n$. The coherence of $X$ is $\coh(X):=\max_{i\not=j}|\langle x_i, x_j\rangle|$. A vector $x\in X$ is said to be isolable if there are no unit vectors $x'$ arbitrarily close to $x$ such that $|\langle x', y\rangle|<\coh(X)$ for all other vectors $y$ in $X$. We define the {\bf core} of a Grassmannian frame $X=\{x_i\}_{i=1}^m$ in $\RR^n$ at angle $α$ as a maximal subset of $X$ which has coherence $α$ and has no isolable vectors. In other words, if $Y$ is a subset of $X$, $\coh(Y)=α$, and $Y$ has no isolable vectors, then $Y$ is a subset of the core. We will show that every Grassmannian frame of $m>n$ vectors for $\RR^n$ has the property that each vector in the core makes angle $α$ with a spanning family from the core. Consequently, the core consists of $\ge n+1$ vectors. We then develop other properties of Grassmannian frames and of the core.
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