Carré du Champ方法是证明流形上存在非平凡度量的显式常数插值不等式的一种强有力的方法。该方法适用于球面上的一些经典的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式，具有最佳常数。接近临界Sobolev指数的非常非线性的区域可以用多孔介质或快速扩散型的非线性抛物流来覆盖。考虑幂律权重是Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的对称破缺问题中的一个自然问题，但是缺少对计算的完全合理性的正则性估计。我们提供了一个完整的抛物线证明的基础上的非线性流正则化的奇异性引起的重量的第一个例子。我们的结果是建立在一个简化的框架内的扩散建立在超球面算子，这相当于减少问题的功能，在球上具有简单的对称性。
英文摘要：
The carré du champ method is a powerful technique for proving interpolation inequalities with explicit constants in presence of a non-trivial metric on a manifold. The method applies to some classical Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities on the sphere, with optimal constants. Very nonlinear regimes close to the critical Sobolev exponent can be covered using nonlinear parabolic flows of porous medium or fast diffusion type. Considering power law weights is a natural question in relation with symmetry breaking issues for Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, but regularity estimates for a complete justification of the computation are missing. We provide the first example of a complete parabolic proof based on a nonlinear flow by regularizing the singularity induced by the weight. Our result is established in the simplified framework of a diffusion built on the ultraspherical operator, which amounts to reduce the problem to functions on the sphere with simple symmetry properties.
Interpolation inequalities in W1,p(S1) and carr{é} du champ methods
本文推广了一维周期情形下基于carr{é} du champ方法的非线性微分方程的刚性结果。主要结果是一个插值不等式，它给出了W1，p（S1）中常数的非平凡的显式估计，其中p $\ge$ 2.主要是由于数值的原因，我们与我们的估计有关的周期动力系统的问题。我们的插值不等式具有Keller-Lieb-Thirring型广义谱估计的对偶形式，其中微分算子现在是p-Laplacian型算子.值得注意的是，carr{é} du champ方法适用于这样的非线性框架，但必须做重大的改变，例如，当p $\ne$ 2时，基本的抛物型方程具有非局部项。
Unconditional uniqueness of Hardy--Hénon parabolic equations on Herz spaces
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Osaka（大阪大学信息理工学研究科）；Center for Advanced Intelligence Project RIKEN（理化学研究所先进智能项目中心）
Interpolation inequalities, nonlinear flows, boundary terms, optimality and linearization
研究了一类带权的快速扩散方程的熵方法中渐近边界项的计算.到目前为止，只考虑了椭圆型方程，我们的目标是证明，至少部分地，carr{é} du champ / Bakry-Emery / R{é}nyi熵方法到抛物型方程的扩展.这是有意义的，因为即使只考虑椭圆型方程，发展方程也是该方法的核心，但这也提出了关于存在权时解的正则性和增长性的难题。我们还研究了熵-熵生产不等式中的最优常数，信息-信息生产不等式中的最优常数，在假设权在x=0处不引入奇异边界项的条件下，讨论了Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式在发展方程作用下广义R{é}nyi熵幂的渐近增长率和对称破缺问题的最佳参数范围.即使在没有权重的情况下，这些考虑也是新的。例如，我们建立了carr{é} du champ和R{é}nyi熵方法的等价性，并解释了为什么熵方法在没有权重的情况下产生熵-熵产生和Gagliardo-Nirenberg不等式中的最佳常数，或者当权重存在时产生最佳对称范围。
Equivalent Characterizations and Applications of Fractional Sobolev Spaces with Partially Vanishing Traces on $(ε,δ,D)$-Domains Supporting $D$-Adapted Fractional Hardy Inequalities
